Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Zeisel (numeri di)

Teoria dei numeri 

Un numero di Zeisel è un intero non multiplo di un quadrato, con almeno tre fattori primi pk, tali che tra questi valga la relazione p0 = 1, pn + 1 = apn + b, con a e b interi, b anche negativo e pn + 1 > pn; nel caso particolare a = 1, i fattori primi sono in progressione aritmetica.

La condizione p0 = 1 fa sì che siano tutti dispari, perché 2 potrebbe comparire come fattore solo come p1 (per la regola dei primi in ordine crescente), ma allora avremmo a = b = 1, quindi p2 = 3, ma p3 = 4 non è primo e non avremmo i 3 primi richiesti.

Dato che i numeri primi maggiori di 2 sono dispari, a e b devono avere parità opposte.

 

Il nome è in onore di Helmut Zeisel, che nel 1994 trovò che 1885 è una risposta alla domanda di Kevin Brown, che chiedeva valori di n che rendessero prima l’espressione 2k – 1 + k; in seguito fu notata la proprietà citata di 1885 = 5 • 13 • 29 (a = 2, b = 3).

 

A rigore non è stato dimostrato che i numeri di Zeisel siano infiniti: esistono infinite progressioni aritmetiche di numeri primi di lunghezza arbitraria, ma non è stato dimostrato che ne esistano infinite inizianti con 1. Tuttavia l’esistenza di infiniti numeri di Zeisel è considerata sicura dai matematici; in particolare, se l’ipotesi di Schinzel è vera, sono infiniti.

 

La tabella seguente mostra i numeri di Zeisel fino a 106.

Numero

a

b

Fattori

105

1

2

3, 5, 7

1419

4

–1

3, 11, 43

1729

1

6

7, 13, 19

1885

2

3

5, 13, 29

4505

3

2

5, 17, 53

5719

2

5

7, 19, 43

15387

10

–7

3, 23, 223

24211

2

9

11, 31, 71

25085

6

–1

5, 29, 173

27559

4

3

7, 31, 127

31929

13

–10

3, 29, 367

54205

8

–3

5, 37, 293

59081

3

8

11, 41, 131

114985

2

3

5, 13, 29, 61

207177

25

–22

3, 53, 1303

208681

5

6

11, 61, 311

233569

9

–2

7, 61, 547

287979

28

–25

3, 59, 1627

294409

1

36

37, 73, 109

336611

6

5

11, 71, 431

353977

5

8

13, 73, 373

448585

17

–12

5, 73, 1229

507579

34

–31

3, 71, 2383

982513

15

–8

7, 97, 1447

 

Alcuni numeri di Zeisel minimi:

  • il minimo è 105 = 3 • 5 • 7 (a = 1, b = 2);

  • il minimo con a > 1 è 1419 = 3 • 11 • 43 (a = 4, b = –1);

  • il minimo con 4 fattori primi è 114985 = 5 • 13 • 29 • 61 (a = 2, b = 3);

  • il minimo con 4 fattori primi e a = 1 è 286421704801 = 331 • 661 • 991 • 1321 (a = 1, b = 330);

  • il minimo con 5 fattori primi è 1136972771 = 11 • 31 • 71 • 151 • 311 (a = 2, b = 9);

  • il minimo con 5 fattori primi e a = 1 è 17881958825542732333951 = 10831 • 21661 • 32491 • 43321 • 54151 (a = 1, b = 10830);

  • il minimo con 6 fattori primi è 717429818501 = 11 • 31 • 71 • 151 • 311 • 631 (a = 2, b = 9);

  • il minimo con 6 fattori primi e a = 1 è 193821683009864337389546926111 = 25411 • 50821 • 76231 • 101641 • 127051 • 152461 (a = 1, b = 25410);

  • il minimo con 7 fattori primi è 42193497392022209194699696424911 = 31 • 331 • 3331 • 33331 • 333331 • 3333331 • 33333331 (a = 10, b = 21);

  • il minimo con 7 fattori primi e a = 1 è 47009692746929972482843697419604030144951761 = 512821 • 1025641 • 1538461 • 2051281 • 2564101 • 3076921 • 3589741 (a = 1, b = 512820);

  • il minimo con 8 fattori primi è 2259851975647498450164729386247520625304964981 = 24091 • 72271 • 168631 • 361351 • 746791 • 1517671 • 3059431 • 6142951 (a = 2, b = 24089);

  • il minimo con 8 fattori primi e a = 1 è 192860132085537774839187722129468129515503441559921 = 512821 • 1025641 • 1538461 • 2051281 • 2564101 • 3076921 • 3589741 • 4102561 (a = 1, b = 512820);

  • il minimo con 9 fattori primi è 6496837611815817806848181714391334227919720933013147552348535557303 = 232823 • 931289 • 3026687 • 9312881 • 28171463 • 84747209 • 254474447 • 763656161 • 2291201303 (a = 3, b = 232820);

  • il minimo con 10 fattori primi è 13839515413469463429656389971119647159455019743381019128792232352396451034929601 = 124771 • 623851 • 2620171 • 10605451 • 42546571 • 170311051 • 681368971 • 2725600651 • 10902527371 • 43610234251 (a = 4, b = 124767).

 

Se un numero di Zeisel ha tre fattori della forma (6n + 1), (12n + 1) e (18n + 1), che corrisponde al caso a = 1, b = 6n, il numero è anche un numero di Carmichael.

La tabella seguente mostra i numeri di Zeisel con 3 fattori primi della forma (6n + 1), (12n + 1) e (18n + 1) fino a 1012.

Numero

n

Fattori

1729

1

7, 13, 19

294409

6

37, 73, 109

56052361

35

211, 421, 631

118901521

45

271, 541, 811

172947529

51

307, 613, 919

216821881

55

331, 661, 991

228842209

56

337, 673, 1009

1299963601

100

601, 1201, 1801

2301745249

121

727, 1453, 2179

9624742921

195

1171, 2341, 3511

11346205609

206

1237, 2473, 3709

13079177569

216

1297, 2593, 3889

21515221081

255

1531, 3061, 4591

27278026129

276

1657, 3313, 4969

65700513721

370

2221, 4441, 6661

71171308081

380

2281, 4561, 6841

100264053529

426

2557, 5113, 7669

168003672409

506

3037, 6073, 9109

172018713961

510

3061, 6121, 9181

173032371289

511

3067, 6133, 9199

464052305161

710

4261, 8521, 12781

527519713969

741

4447, 8893, 13339

663805468801

800

4801, 9601, 14401

727993807201

825

4951, 9901, 14851

856666552249

871

5227, 10453, 15679

 

Sono anche stati considerati numeri di Zeisel del secondo ordine, vale a dire interi non multipli di un quadrato, con almeno tre fattori primi pk, tali che tra questi valga la relazione p0 = p1 = 1, pn + 1 = apn + bpn – 1, con a e b interi, b anche negativo e pn + 1 > pn.

La tabella seguente mostra i numeri di Zeisel del secondo ordine fino a 106.

Numero

a

b

Fattori

30

1

1

2, 3, 5

130

3

-1

2, 5, 13

165

1

2

3, 5, 11

357

2

1

3, 7, 17

406

5

-3

2, 7, 29

1353

4

-1

3, 11, 41

2301

5

-2

3, 13, 59

2665

2

3

5, 13, 41

5115

1

2

3, 5, 11, 31

5185

3

2

5, 17, 61

5457

7

-4

3, 17, 107

7786

15

-13

2, 17, 229

7809

8

-5

3, 19, 137

9709

2

5

7, 19, 73

11134

17

-15

2, 19, 293

14637

2

1

3, 7, 17, 41

30189

13

-10

3, 29, 347

37293

14

-11

3, 31, 401

42514

27

-25

2, 29, 733

51541

5

2

7, 37, 199

51985

8

-3

5, 37, 281

65157

17

-14

3, 37, 587

71545

9

-4

5, 41, 349

90946

35

-33

2, 37, 1229

95161

3

8

11, 41, 211

104361

20

-17

3, 43, 809

137757

22

-19

3, 47, 977

159265

12

-7

5, 53, 601

190726

45

-43

2, 47, 2029

200181

25

-22

3, 53, 1259

246745

14

-9

5, 61, 809

266437

1

18

19, 37, 379

383854

57

-55

2, 59, 3253

431065

17

-12

5, 73, 1181

530335

2

3

5, 13, 41, 199

538521

35

-32

3, 73, 2459

566686

65

-63

2, 67, 4229

686589

38

-35

3, 79, 2897

725401

3

16

19, 73, 523

796105

21

-16

5, 89, 1789

798447

5

-2

3, 13, 59, 347

799041

40

-37

3, 83, 3209

949921

15

-8

7, 97, 1399

950797

2

21

23, 67, 617

954577

7

6

13, 97, 757

 

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.