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Artin (costante di)

Teoria dei numeri 

Nel 1927 Emil Artin propose la strabiliante congettura che ogni intero diverso da 1 e –1 e non quadrato sia radice primitiva modulo infiniti primi (v. congettura di Artin).

 

Una versione più raffinata è che se n non è una potenza e dividendolo per tutti i quadrati dei quali è multiplo si ottiene un numero della forma 4k + 1, allora n è radice primitiva modulo una frazione dei primi che tende a una costante, uguale a Formula per la definizione della costante di Artin, e detta “costante di Artin”. Questo implicherebbe tra l'altro che la frazione dei primi con periodo massimo in basi non multiple di quadrati, come 10 e 2, tenda alla costante di Artin.

 

Altre formule per la costante:

Formula per il calcolo della costante di Artin, dove la somma va calcolata sui primi non superiori a n;

Formula per il calcolo della costante di Artin;

Formula per il calcolo della costante di Artin.

 

Una formula rapidamente convergente per la costante di Artin, simile a una formula che dà la costante dei primi gemelli, è Formula per il calcolo della costante di Artin, dove Formula per il calcolo della costante di Artin e Ln è l’n-esimo numero di Lucas.

 

Alle voci espansione di Engel, espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della costante.

 

J.W. Wrench ne calcolò 45 cifre nel 1961, poi T.O. Silva 500 e G. Niklasch 1000 nel 1999.

Qui trovate le prime 1001 cifre decimali della costante di Artin (Harry J. Smith, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

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