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Trigg (costante di)

Rappresentazione dei numeri 

Dato un numero di 4 cifre, ordiniamo le cifre dalla maggiore alla minore e chiamiamole, nell’ordine, x, y, w, z. L’operazione proposta da Trigg consiste nel calcolare la differenza yxzwwzxy. Per esempio, nel caso di 5327 le cifre in ordine sono 7532 e la differenza è 5723 – 3275 = 2448.

 

La costante di Trigg è l’unico numero tale che l’operazione descritta produca il numero stesso, ossia 2538. Infatti, 5823 – 3285 = 2538.

 

L’idea può essere generalizzata ad altre basi e vi è al massimo una costante di Trigg in ogni base.

Per dimostrarlo, osserviamo per prima cosa che y > w, altrimenti la differenza inizia per 0 e il numero avrebbe solo 3 cifre. Poi se w è 0, anche z è 0 e le quattro cifre del risultato della sottrazione sono, nell’ordine, y, x – 1, bx – 1 e by; delle ultime tre, due devono essere uguali a zero e una a x, quindi x – 1 è zero e x = 1, e questo implica che y = 1; dato che b dev’essere maggiore di 1, by è la cifra uguale a 1 e b = 2, da cui l’unico caso di costante di Trigg in base 2: 10012 = 9.

Se y > w > 0, le quattro cifre del risultato della sottrazione sono, nell’ordine, yw, xz – 1, zx – 1 + b e wy + b, dove b è la base della rappresentazione. Queste cifre devono essere uguali a quelle del numero di partenza, in qualche ordine; esaminando tutte le permutazioni, si vede che le possibili soluzioni sono solo due:

  • nelle basi della forma 5n, con n maggiore di zero, la costante di Trigg è formata dalle cifre n, 3n – 1, 2n – 1, 4n (in quest’ordine);

  • in base 4, la costante di Trigg è 12034.

Quindi abbiamo una famiglia infinita di costanti di Trigg, una in ciascuna base multiplo di 5 e due casi isolati.

 

In particolare nelle basi fino a 20 le costanti di Trigg sono:

  • 10012 = 9 in base 2;

  • 12034 = 99 in base 4;

  • 41215 = 184 in base 5;

  • 2538 in base 10;

  • 385C15 = 12012 in base 15;

  • 4B7G20 = 36556 in base 20.

Vedi anche

Costante di Kaprekar.

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