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Ciclici (numeri) (II)

Teoria dei numeri 

Si dicono “ciclici” i numeri naturali, primi rispetto al valore della loro funzione toziente, cioè gli interi positivi n tali che MCD(n, φ(n)) = 1.

Per esempio, 33 è ciclico, perché φ(33) = 20 e 20 non ha divisori comuni con 33, mentre 21 non è ciclico, perché φ(21) = 12 e 21 è 12 hanno 3 come divisore comune.

 

Il nome deriva dal teorema, attribuito a William Burnside (Londra, 2/7/1852 – Cotleigh, Inghilterra, 21/8/1927), che afferma che un gruppo che ha per ordine un numero con questa proprietà è unico e ciclico; per tutti gli altri ordini esiste almeno un gruppo non ciclico.

Vale anche l'inverso: se n è ciclico, il gruppo di ordine n è ciclico e unico (Tibor Szele, 1947).

 

Dalla definizione segue che:

  • tutti i numeri primi sono numeri ciclici;

  • i numeri ciclici non sono multipli di quadrati;

  • l’unico numero ciclico pari è 2.

 

I numeri ciclici minori di 1000 sono: 15, 33, 35, 51, 65, 69, 77, 85, 87, 91, 95, 115, 119, 123, 133, 141, 143, 145, 159, 161, 177, 185, 187, 209, 213, 215, 217, 221, 235, 247, 249, 255, 259, 265, 267, 287, 295, 299, 303, 319, 321, 323, 329, 335, 339, 341, 345, 365, 371, 377, 391, 393, 395, 403, 407, 411, 413, 415, 427, 435, 437, 445, 447, 451, 455, 469, 473, 481, 485, 493, 501, 511, 515, 517, 519, 527, 533, 535, 537, 545, 551, 553, 559, 561, 565, 573, 581, 583, 589, 591, 595, 611, 623, 629, 635, 649, 665, 667, 671, 679, 681, 685, 695, 697, 699, 703, 705, 707, 713, 717, 721, 731, 745, 749, 753, 763, 767, 771, 779, 781, 785, 789, 793, 795, 799, 803, 805, 807, 815, 817, 835, 843, 851, 865, 869, 871, 879, 885, 893, 895, 899, 901, 913, 917, 923, 933, 943, 949, 951, 957, 959, 965, 973, 985, 989, 995.

Qui trovate i numeri ciclici minori di 106 (1.6 MByte).

 

Se e solo se n è ciclico non esistono numeri interi x maggiori di 1 e minori di n tali che xn ≡ 1 mod n.

 

Erdös dimostrò nel 1948 che un intero è ciclico se e solo se tra i suoi fattori primi non ve ne sono due p e q tali che q – 1 sia multiplo di p e che il numero  di numeri ciclici minori di n tende a Formula per la crescita asintotica dei numeri ciclici.

 

Tutti di divisori dei numeri di Carmichael sono numeri ciclici, quindi condizione sufficiente perché n sia un numero ciclico è che divida un numero di Carmichael.

Nel 1980 Gérard P. Michon avanzò la congettura che la condizione sia anche necessaria, ovvero che per ogni numero ciclico esista un multiplo che è un numero di Carmichael.

 

Il minimo quadrato magico formato da numeri ciclici consecutivi è il seguente.

265

247

259

251

257

263

255

267

249

 

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