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Trasponibili (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “k-trasponibili” i numeri naturali che vengono moltiplicati per k se la prima cifra viene spostata all’ultimo posto.

Per esempio, 142857 è 3-trasponibile, perché 428571 = 3 • 142857.

 

In base 10 vi sono solo numeri 3-trasponibili e appartengono a una delle due sequenze 142857, 142857142857, 142857142857142857, … e 285714, 285714285714, 285714285714285714, … (S. Kahan, 1976).

 

Anne Ludington dimostrò nel 1987 che in una qualsiasi base b esiste un intero di n cifre k-trasponibile se e solo se esiste un intero d maggiore di k, minore di b e primo rispetto a k che divide bk e tale che kn ≡ 1 mod d e che esistono interi k-trasponibili, per qualche valore di k, in base 5 e in ogni base maggiore di 6, ma non in base 2, 3, 4 e 6.

 

Concatenando copie di un numero k-trasponibile, si ottiene un altro numero k-trasponibile; per esempio, 142857142857 è 3-trasponibile. Se si escludono tali concatenazioni, in ogni base fissata i numeri trasponibili sono in numero finito.

 

Le tabelle seguenti mostrano tutti i numeri k-trasponibili nelle basi fino a 20, escludendo quelli che sono concatenazioni di copie di numeri trasponibili.

Base \ k

2

3

5

135 = 8

-

6

-

-

7

12547 = 480, 25417 = 960

157 = 12

8

258 = 21

14638 = 819

9

1259 = 104, 2519 = 208, 3769 = 324

-

10

-

142857, 285714

11

3711 = 40, 12498611 = 196840, 24986111 = 393680, 49861211 = 787360

1411 = 15, 2811 = 30

12

249712 = 4147, 497212 = 8294

-

13

12495BA83713 = 12532590168, 2495BA837113 = 25065180336, 3712495BA813 = 37597770504, 495BA8371213 = 50130360672, 5BA837124913 = 62662950840

13B913 = 2856, 27A513 = 5712, 3B9113 = 8568

14

4914 = 65

13B6514 = 48893, 278CA14 = 97786, 3B65114 = 146679

15

124936DCA5B815 = 9980487530048, 24936DCA5B8115 = 19960975060096, 36DCA5B8124915 = 29941462590144, 4936DCA5B81215 = 19960975060096, 5B8124936DCA15 = 19960975060096, 6DCA5B81249315 = 19960975060096

3B15= 56

16

24916 = 585, 49216 = 1170, 6DB16 = 1755

13B16 = 315, 27616 = 630, 3B116 = 945, 4EC16 = 1260

17

5B17 = 96, 124917 = 5568, 249117 = 11136, 36DA17 = 16704, 491217 = 22272, 6DA317 = 33408, 7FEC17 = 38976

13AFD617 = 1724112, 274E9C17 = 3448224, 3AFD6117 = 5172336, 4E9C2717 = 6896448

18

-

3AE718 = 20995

19

1248HGEA19 = 999033120, 248HGEA19 = 1998066240, 36D7FC5B19 = 2997099360, 48HGEA12 = 3996132480, 5B36D7FC19 = 4995165600, 6D7FC5B319 = 5994198720, 7FC5B36D19 = 6993231840, 8HGEA124 = 7992264960

2719 = 45, 4E18 = 90, 13AD19 = 8345, 3AD119 = 24435, 5HF819 = 40725

20

6D20 = 133, 248HFB20 = 7111111, 48HFB220 = 14222222, 8HFB2420 = 28444444

13ABF5HCIG984E2720 = 38550588235294117647, 2713ABF5HCIG984E20 = 77101176470588235294, 3ABF5HCIG984E27120 = 115651764705882352941, 4E2713ABF5HCIG9820 = 154202352941176470588, 5HCIG984E2713ABF20 = 192752941176470588235

Base \ k

4

5

9

179 = 16

-

10

-

-

11

16311 = 190

1911 = 20

12

-

186A3512 = 426569

13

15A13 = 244, 2B713 = 488

1813 = 21

14

2B14 = 39

17AC6314 = 836615

15

156C415 = 69034, 2AD9815 = 138068

1D15 = 28

16

-

1745D16 = 95325, 2E8BA16 = 190650

17

153FBD17 = 1856736, 2A7E6917 = 3713472, 3FBD1517 = 5570208

1717 = 24, 2E17 = 48

18

2A518 = 833

16GB18 = 8075, 2DF418 = 16150

19

1519 = 24, 2A19 = 48, 3F19 = 72

16EHC419 = 3360420, 2DAG5819 = 6720840

20

-

.

Base \ k

6

7

13

1B13 = 21

-

14

-

-

15

-

-

16

-

1C716 = 455

17

194ADF7C6317 = 183272172768

1BF517 = 8352

18

-

1B834G69ED18 = 324587929693

19

18EBD2HA475G19 = 170254993774320, 2HA475G18EBD 19 = 340509987548640

1B19 = 30

20

2H20 = 57

1AF7DGI94C6320 = 315076923076923

Base \ k

8

9

17

1B17 = 32

-

18

-

-

19

1DFA6H538C19 = 557369659800

1H19 = 36

20

-

1G75920 = 290909

 

Alcuni Autori allargano la definizione, includendo i numeri che vengono che vengono moltiplicati per k per una qualche permutazione ciclica delle cifre.

Con questa definizione i numeri trasponibili includono anche i numeri ciclici (I) e i numeri parassiti.

Questa definizione rende i numeri trasponibili infiniti in qualsiasi base: infatti, per ogni numero naturale n primo rispetto alla base b, il periodo dello sviluppo di 1 / n in base b produce un numero trasponibile, tante volte quante sono le cifre del periodo meno uno. Per esempio, in base 10 1 / 39, il periodo ha 6 cifre e 025641 è trasponibile 5 volte:

  • 025641 • 10 = 256410,

  • 025641 • 22 = 564102,

  • 025641 • 25 = 641025,

  • 025641 • 16 = 410256,

  • 025641 • 4 = 102564.

Se non si ammette lo zero iniziale, n deve essere minore di b e i numeri trasponibili sono in numero finito in ogni base.

Bibliografia

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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