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Parassiti (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “k-parassiti” i numeri naturali che vengono moltiplicati per k se l’ultima cifra viene spostata al primo posto.

Per esempio, 142857 è 5-parassita, perché 714285 = 5 • 142857.

Generalmente non sono considerati parassiti i numeri che iniziano con zero, quindi anche se 4 • 025641 = 102564, 025641 non è un numero parassita.

 

In qualsiasi base b i numeri k-parassiti possono essere costruiti con un metodo semplice, partendo con una cifra n non inferiore a k e non superiore a b e ripetendo queste tre operazioni:

  • moltiplicare per k l’ultimo numero ottenuto;

  • scartare la prima cifra del prodotto;

  • concatenare a destra la cifra prescelta.

Entro un numero finito di passi si arriva ad avere come prima cifra del prodotto quella prescelta; la si scarta e la si concatena a destra, ottenendo il numero k-parassita voluto. Per esempio, in base 10 per k = 4, prendiamo n = 7 e procediamo:

  • moltiplichiamo, ottenendo 4 • 7 = 28;

  • scartiamo il 2, concateniamo il 7 e moltiplichiamo 4 • 87 = 348;

  • scartiamo il 3, concateniamo il 7 e moltiplichiamo 4 • 487 = 1948;

  • scartiamo l’1, concateniamo il 7 e moltiplichiamo 4 • 9487 = 37948;

  • scartiamo il 3, concateniamo il 7 e moltiplichiamo 4 • 79487 = 317948;

  • scartiamo il 3, concateniamo il 7 e moltiplichiamo 4 • 179487 = 717948.

L’ultimo prodotto inizia per 7 e ci dice che 179487 è un numero 4-parassita.

 

Un metodo equivalente è prendere una cifra cifra n non inferiore a k e non superiore a b e calcolare il periodo dello sviluppo di n / (b * k – 1), dopo aver ridotto la frazione ai minimi termini. Per esempio, sempre in base 10 per k = 4 e n = 7, il periodo di 7 / 39 è il numero 4-parassita 179487.

 

Concatenando copie di un numero k-parassita, si ottengono numeri k-parassiti, così, per esempio, 179487179487 e 179487179487179487 sono numeri 4-parassiti.

 

I numeri 1-parassiti sono semplicemente i numeri costituiti da cifre tutte uguali.

 

Escludendo le concatenazioni di copie identiche, se si ammette lo zero iniziale si può scegliere n tra 1 e b – 1, ottenendo b – 1 numeri k-parassiti, altrimenti n deve essere scelto tra k e b – 1 e si ottengono bk numeri k-parassiti.

 

La tabella seguente mostra tutti i numeri k-parassiti in base 10, escludendo le concatenazioni di copie di numeri parassiti.

k

Numeri k-parassiti

1

1

2

052631578947368421, 105263157894736842, 157894736842105263, 210526315789473684, 263157894736842105, 315789473684210526, 368421052631578947, 421052631578947368, 473684210526315789

3

0344827586206896551724137931, 0689655172413793103448275862, 1034482758620689655172413793, 1379310344827586206896551724, 1724137931034482758620689655, 2068965517241379310344827586, 2413793103448275862068965517, 2758620689655172413793103448, 3103448275862068965517241379

4

025641, 051282, 076923, 102564, 128205, 153846, 179487, 205128, 230769

5

142857, 020408163265306122448979591836734693877551, 040816326530612244897959183673469387755102, 061224489795918367346938775510204081632653, 081632653061224489795918367346938775510204, 102040816326530612244897959183673469387755, 122448979591836734693877551020408163265306, 163265306122448979591836734693877551020408, 183673469387755102040816326530612244897959

6

0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661, 0338983050847457627118644067796610169491525423728813559322, 0508474576271186440677966101694915254237288135593220338983, 0677966101694915254237288135593220338983050847457627118644, 0847457627118644067796610169491525423728813559322033898305, 1016949152542372881355932203389830508474576271186440677966, 1186440677966101694915254237288135593220338983050847457627, 1355932203389830508474576271186440677966101694915254237288, 1525423728813559322033898305084745762711864406779661016949

7

0144927536231884057971, 0289855072463768115942, 0434782608695652173913, 0579710144927536231884, 0724637681159420289855, 0869565217391304347826, 1014492753623188405797, 1159420289855072463768, 1304347826086956521739

8

0126582278481, 0253164556962, 0379746835443, 0506329113924, 0632911392405, 0759493670886, 0886075949367, 1012658227848, 1139240506329

9

01123595505617977528089887640449438202247191, 02247191011235955056179775280898876404494382, 03370786516853932584269662921348314606741573, 04494382022471910112359550561797752808988764, 05617977528089887640449438202247191011235955, 06741573033707865168539325842696629213483146, 07865168539325842696629213483146067415730337, 08988764044943820224719101123595505617977528, 10112359550561797752808988764044943820224719

 

I minimi numeri k-parassiti per ogni valore di k si chiamano “numeri di Dyson”.

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