Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Ciclici (numeri) (I)

Rappresentazione dei numeri 

Si dicono “ciclici” i numeri naturali tali che tutti i numeri ottenuti permutando ciclicamente le cifre siano multipli successivi del numero stesso.

Per esempio, 142857 è ciclico, perché:

  • 142857 • 1 = 142857,

  • 142857 • 2 = 285714,

  • 142857 • 3 = 428571,

  • 142857 • 4 = 571428,

  • 142857 • 5 = 714285,

  • 142857 • 6 = 857142.

 

Comunemente perché un numero sia considerato ciclico deve soddisfare altri tre requisiti:

  • non deve essere formato da una sola cifra o da ripetizioni di una singola cifra;

  • non deve essere concatenazione di copie di un numero ciclico, come 142857142857;

  • i multipli devono essere consecutivi.

L’ultimo requisito esclude numeri come 076923, perché ha sei multipli che sono permutazioni cicliche delle cifre, ma non sono consecutivi:

  • 076923 • 1 = 076923,

  • 076923 • 3 = 230769,

  • 076923 • 4 = 307692,

  • 076923 • 9 = 692307,

  • 076923 • 10 = 769230,

  • 076923 • 12 = 923076.

 

In base b sono ciclici tutti e soli i numeri della forma Forma generale dei numeri ciclici, dove p è un primo a lungo periodo in base b, ovvero b è radice primitiva di un primo p.

Se non si ammette lo zero iniziale, bisogna aggiungere il requisito p < b e quindi i numeri ciclici diventano finiti in qualsiasi base; in particolare l’unico in base 10 è 142857. Senza questo vincolo sono con ogni probabilità infiniti in ogni base: supponendo vera la cosiddetta ipotesi di Riemann generalizzata, Hooley dimostrò nel 1967 che sono una frazione finita dei primi (v. primi a lungo periodo).

 

I numeri ciclici fino a 100 cifre in base 10 sono:

  • Numero ciclico in base 10,

  • Numero ciclico in base 10,

  • Numero ciclico in base 10,

  • Numero ciclico in base 10,

  • Numero ciclico in base 10,

  • Numero ciclico in base 10,

  • Numero ciclico in base 10,

  • Numero ciclico in base 10

    .

 

La tabella seguente riporta i numeri ciclici (inclusi quelli di una sola cifra) con fino a 100 cifre nelle basi fino a 20.

Base

Numeri ciclici

2

012 = 1, 00112 = 3, 00010111012 = 93, 0001001110112 = 315, 0000110101111001012 = 13797, 00001000110100111101110010112 = 9256395, 0000011011101011001111100100010100112 = 1857283155, 00000100110101001000011100111110110010101101111000112 = 84973577874915, 00000100010101101100011110010111110111010100100111000011012 = 4885260612740877, 0000010000110010010111000101001111101111001101101000111010112 = 18900352534538475, 0000001111010010001001100011010101111110000101101110110011100101012 = 1101298153654301589, 00000011000101011001011100100001111011010111111001110101001101000110111100001001012 = 58261485282632731311141, 00000010100010001101111100001100101011000101101100111111010111011100100000111100110101001110100100112 = 12550996041863657440561417875

3

13 = 1, 01213 = 16, 0102123 = 104, 00112021221102013 = 2532160, 0011021002211201223 = 20390552, 00022101020111222001212021113 = 788854912240, 0002121112210202220101110012023 = 6641649422408, 0001212212020021112102221010010202201110123 = 2544627654221217656, 00011120210101200211220221222111020121210220110020013 = 121907205457107043376080, 0001000200110022012110122102121202011102221222022112200210112100120101020211123 = 207888648965324786661157820262142472, 00002201201102020001211010221111001012202121222200210211202022210112120011112212100201013 = 10896334042556444976144066765888548489440, 00002101221221010110211110022000112102202120202211222201210010012121120111122002221101200201020200113 = 5102747730019914168677832967976448244575322000

4

Nessuno

5

25 = 2, 135 = 8, 0324125 = 2232, 01213402432310425 = 8975758272, 01020413321434240311235 = 103660251783288, 0031421220401133424413023224043311025 = 393295006172077075855152, 0024231412234340431114420213032210104013335 = 5287759894028652546017668968, 00231221041114241401012442132234033302030434325 = 3023586109617447599451592627992, 00213440120142041103122331442310043243024033413221135 = 41895208476421001525420062946823408, 0013240100320302011411040233221310214431204344124142433033404211223134235 = 2900797764569521709138090755752198500175998635488, 00122311130312403424212103301400422433441443221333141320410202323411430440220110035 = 24915078691356255267211105182830206432705184063279485128, 0011210201233122141143441031334014002242040302124433234243211322303301003413110430442202404142325 = 130121386428208132851419144788913192523415494450972866766231576192

6

03134524216 = 5496925, 0243405312156 = 167444795, 02041224535143316 = 165947641615, 00513354124403302344550422014311522532116 = 326036452166920343118020633575, 00335444022351041343242503014552201115332045142123130525416 = 23010206205597578855613348528142468863305485, 0033125040441544530143423202205522430515114011025412132353356 = 801207835749004221136438561865157440420669675, 0024223254344413040335123541021400524505531332301211142515220432014534155031056 = 62830488834745799764919999046919057042294575598312849205585, 00233404200511212401422425203245254410534553221513550443431541331303523103011450216 = 77504057456103782688332158824334466701425154554911599434513445, 00223212031225444151542143033502004504241024553323435243301114040134125220535510513145316 = 3372252048177237989481645974999734347292139740515261948393064282135

7

37 = 3, 12547 = 480, 04311623557 = 25679568, 0352456314217 = 1064714400, 02611434640552327 = 1954878268800, 02062511343646041553237 = 169992219503608176, 01123632621352022505655430340453146441617 = 155287945388025072822961832664000, 0054234463533621155652516440626612432203133045511014150226047 = 8328227225239727300363740945118303307744828276000, 0050556454330640344115301314462416616110212336026322551365352204257 = 892063640211282825474479392023665958463061931528816144, 00455501244302521605343514020331040662111654223641450613231526463356267 = 2021177487462935694163423610657339038592639207595015023088, 0042251411030465065521335446054035023236624415255636201601145331220612631643437 = 10471768431192039997950365825114098114408479010853031192506446512, 00356562021262411154432450143634606415053352663101046454042555122342165230320602516133147 = 2625654114726219756785170078776690226336621147279288892046449523531355200, 0033516063653251241204355261305023452244556264656633150603013415425462311405361643214422110402017 = 13888012767982232451876356368266730833188934159326334821547273392923444525420800, 00325256144335124630555160456502624302266013121344663414105223315420361115062101640423644006535453227 = 32024519897274831597471760090101156543140625731728964365682131993977143164722060000

8

258 = 21, 14638 = 819, 05642721358 = 97612893, 02151734541064756260432367138 = 666993555649450579148235, 01152207175453361404651034766255706023244163731267438 = 1723468911946819479013779283863541296764071395, 01053307457565116064042554362767244703202126617137352234158 = 405851573322534125624562242359721711763437267527437, 00612627103665763523215702240305313441732771651506741120142545620755374724643360458 = 1362388098142368639678687229488515482083843004819754377346780685334068261, 00504337031261331765671017152351140242157414530554772734407465164460121067606254266375356203632472238 = 20168673033014713725430155330785922386648201917484517333031093557964171284785511942409875

9

49 = 4

10

142857, 0588235294117647, 052631578947368421, 0434782608695652173913, 0344827586206896551724137931, 0212765957446808510638297872340425531914893617, 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661, 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459, 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567

11

511 = 5, 3711 = 40, 093425A1768511 = 241417567440, 07132651A397845911 = 2702925286092480, 05296243390A581486771A11 = 3539249973340859178840, 04199534608387A69115764A272311 = 4972756417465490828885381520, 039A32146818574A7107896429253611 = 562883944157626042534154959800, 02A51089432461972756A8059A2167864913835411 = 11038842821506329708753501471926078162400, 026356872899144A077A593A847542382119660A33051711 = 17059474905024118586636841163093196450507266680, 0206175041133A082267915452472A8A4935A699770A2884319565863811 = 42650460784622229944592981560481688561288473885235759717320, 018958233134A1A742A56448411707250A921528779760903680546626993A385A11 = 8050862654143793879107626390115683974303127367671264665331136029480, 01782362194A598403454714379A0858068A932874891605126A76563967310A252A4211 = 111231965746399889779281532176124082359728589886408789572712421052258200, 017261A6033513A1066A2792122954742457A9384904A7759709A440831898815636865311 = 13090326270237280179367227985275095774690798845399149468755786428218495840, 0121A6231819403659769525610A867096475732A38A268305A989048792916A745134158549A0243A1463537807208427A511 = 1364417063348739622189934373474221462996468435647372914172918569520295565302208680885159995024341846000

12

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13

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14

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15

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16

Nessuno

17

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18

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

19

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

20

6D20 = 133, 1AF7DGI94C6320 = 315076923076923, 13ABF5HCIG984E2720 = 38550588235294117647, 0H7GA8DI546J2C39B61EFD20 = 1823610434782608695652173913, 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B720 = 1857283155027027027027027027027027027027027027, 0960IC1H43E878GEHD9F6JADJ17I2FG5BCB3526A4D20 = 102280151421023255813953488372093023255813953488372093, 08A4522B15ACF67D3GBI5J2JB9FEHH8IE974DC6G381E0H20 = 14972073229290212765957446808510638297872340425531914893617, 07AIH737I9G4AB6860F1HEE6FGJC912CGC1A3F98DBDJ4I255D4320 = 849735778749150188679245283018867924528301886792452830188679245283, 05J813HC4FA8J21FG8735D8D2DECAEIA2JE0BIG27F49B0HI43BCGE6B6H6579519H20 = 1101298153654301589014925373134328358208955223880597014925373134328358208955223880597, 059BFC6BA2EFHG35F177II1CHADDJ90G8F6GJEA847D89H5423GE4ICC11I729660AJ3B4D320 = 64689951820132126215013698630136986301369863013698630136986301369863013698630136986301369863, 04G7E46EIFI18I65609CF88D9HBG2HGCAC0J5AGH6JF3C5FD5141IB1DEDJA74BB6A283H23797J0E932D20 = 582614852826327313111410120481927710843373493975903614457831325301204819277108433734939759036144578313253

 

Il teorema dimostrato da E. Midy nel 1836 afferma che se p è primo, potenza di primo o primo rispetto a 10k – 1, p non ha divisori comuni con 10 o n e il periodo di n / p ha lunghezza 2k (contando anche gli zeri iniziali), dividendolo a metà si ottengono due numeri, la somma dei quali si scrive con k cifre 9. Per esempio, 3 / 7 e 428 + 571 = 999.

 

La generalizzazione del teorema (Joseph Lewittes, 2006) afferma che in qualsiasi base b, se p è primo, potenza di primo o primo rispetto a bk – 1, p non ha divisori comuni con b o n e il periodo  di n / p ha lunghezza mk con k > 1, suddividendo il periodo in m parti della stessa lunghezza k e sommandole si ottiene un multiplo di bk – 1. Per esempio, il periodo di 6 / 17 ha 16 cifre, 16 è multiplo di 4 e 3529 + 4117 + 6470 + 5882 = 19998 = 2 • 9999. Se n è 1, la somma è bk – 1, cioè un numero che si esprime in base b con m cifre b – 1; per esempio, il periodo di 1 / 13 ha 6 cifre, 6 è multiplo di 2 e 3 e 76 + 923 = 999 e 7 + 69 + 23 = 99

Vedi anche

Primi a lungo periodo.

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