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Polidivisibili (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Un numero naturale si dice “polidivisibile” se le sue prime due cifre formano un numero divisibile per 2, le prime tre un numero divisibile per 3 e così via per tutte le cifre che lo compongono.

Per esempio, 10205 è polidivisibile, perché 10 è divisibile per 2, 102 per 3, 1020 per 4 e 10205 per 5.

 

Vi sono in tutto 20456 numeri polidivisibili, il massimo dei quali è 3608528850368400786036725.

 

I numeri polidivisibili inferiori a 1000 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38, 40, 42, 44, 46, 48, 50, 52, 54, 56, 58, 60, 62, 64, 66, 68, 70, 72, 74, 76, 78, 80, 82, 84, 86, 88, 90, 92, 94, 96, 98, 102, 105, 108, 120, 123, 126, 129, 141, 144, 147, 162, 165, 168, 180, 183, 186, 189, 201, 204, 207, 222, 225, 228, 240, 243, 246, 249, 261, 264, 267, 282, 285, 288, 300, 303, 306, 309, 321, 324, 327, 342, 345, 348, 360, 363, 366, 369, 381, 384, 387, 402, 405, 408, 420, 423, 426, 429, 441, 444, 447, 462, 465, 468, 480, 483, 486, 489, 501, 504, 507, 522, 525, 528, 540, 543, 546, 549, 561, 564, 567, 582, 585, 588, 600, 603, 606, 609, 621, 624, 627, 642, 645, 648, 660, 663, 666, 669, 681, 684, 687, 702, 705, 708, 720, 723, 726, 729, 741, 744, 747, 762, 765, 768, 780, 783, 786, 789, 801, 804, 807, 822, 825, 828, 840, 843, 846, 849, 861, 864, 867, 882, 885, 888, 900, 903, 906, 909, 921, 924, 927, 942, 945, 948, 960, 963, 966, 969, 981, 984, 987.

Qui trovate tutti i numeri polidivisibili in base 10.

 

La tabella seguente mostra il numero di interi polidivisibili di n cifre, il minimo e il massimo numero polidivisibile di n cifre, per tutti i possibili valori di n.

Cifre

Numero di interi polidivisibili

Minimo intero polidivisibile

Massimo intero polidivisibile

1

9

1

9

2

45

10

98

3

150

102

987

4

375

1020

9876

5

750

10200

98765

6

1200

102000

987654

7

1713

1020005

9876545

8

2227

10200056

98765456

9

2492

102000564

987654564

10

2492

1020005640

9876545640

11

2225

10200056405

98765456405

12

2041

102006162060

987606963096

13

1575

1020061620604

9876069630960

14

1132

10200616206046

98760696309604

15

770

102006162060465

987606963096045

16

571

1020061620604656

9876062430364208

17

335

10200616206046568

98485872309636009

18

180

108054801036000018

984450645096105672

19

90

1080548010360000180

9812523240364656789

20

44

10805480103600001800

96685896604836004260

21

18

123606009012225672009

966858966048360042609

22

12

1236060090122256720090

9668589660483600426096

23

6

12360600901222567200901

72645656402410567240820

24

3

144408645048225636603816

402852168072900828009216

25

1

3608528850368400786036725

3608528850368400786036725

 

Il massimo numero polidivisibile con sole cifre pari è 48000688208466084040 e il massimo palindromo è 30000600003.

 

La definizione può essere estesa ad altre basi; la tabella seguente mostra il numero di interi polidivisibili e il relativo massimo nelle basi da 2 a 20 (M. Fiorentini 2014).

Base

Interi polidivisibili

Massimo intero polidivisibile

2

2

102 = 2

3

15

2002203 = 510

4

37

22203014 = 10801

5

127

40220422005 = 8002800

6

323

523230000036 = 328224963

7

1067

2222550000334026067 = 543132112659030

8

2568

561476606424322028 = 1625617313969282

9

8380

88318057082646684017629 = 976950495904635536636

10

20456

3608528850368400786036725

11

58173

594028289306446AA604A0820211 = 633984966211379026884314402

12

148058

606890346850BA6800B03620646412 = 830642837707972528309709136652

13

441492

420A26CC95820CCCA8B346A80062A0996C313 = 311178293035966860075741106050464008245

14

916145

BA280A76B2D29008B63A784800604A1A6476CC014 = 418859156568815767928583230192107024079856024

15

3722967

6A99598095665B0EAC8A95000C9960B50AAC4215 = 219817953354088200265921421660185148183042762

16

8407789

FAE06678C2E884607EB8B4E0B0A0F060342034216 = 89515749136034833729775437005460258167590093634

17

23909585

97A6391BAEDB352E0AFB88A2402264C280AAB531D326D17 = 13033931484599245846784297863636988655550561363795226085

18

64576508

AE6GA07A9EA0423220GGF6G0E492GC6400G0D408308006EC18 = 1074476003566376103432953007811214531686421670832597917181728

19

178009924

F7BBHBC600AE4C2E1F0219G8AI807HE0D14GG055220CCC6I19 = 19451708641078025627070702960688866628695658142051070618997584

20

466027278

HG8G546820C0060G1C4020600IC0AAG0B60CIC00GAG8AIE8F0CC20 = 40131649688350976849467410155325168338528692085017808187610798200252

 

I numeri polidivisibili sono con ogni probabilità in numero finito in ogni base, ma che io sappia non è stato dimostrato.

 

In base b una buona stima del numero di interi polidivisibili di n cifre è Stima del numero di interi polidivisibili di n cifre in base b e una buona stima per il numero complessivo di interi polidivisibili è Stima del numero complessivo di interi polidivisibili in base b.

 

In molte basi esistono interi polidivisibili e pandigitali con un numero di cifre uguale alla base, includendo lo zero, e interi polidivisibili e pandigitali con un numero di cifre uguale alla base meno uno, che si ricavano dai precedenti (che terminano forzatamente per 0), dividendoli per la base (M. Fiorentini 2014).

Base

Interi polidivisibili e pandigitali senza lo zero

Interi polidivisibili e pandigitali con lo zero

2

12 = 1

102 = 2

3

-

-

4

1234 = 27, 3214 = 57

12304 = 108, 32104 = 228

5

-

-

6

143256 = 2285, 543216 = 7465

1432506 = 13710, 5432106 = 44790

7

-

-

8

32541678 = 874615, 52347618 = 1391089, 56743218 = 1538257

325416708 = 6996920, 523476108 = 11128712, 567432108 = 12306056

9

-

-

10

381654729

3816547290

11

-

-

12

-

-

13

-

-

14

9C3A5476B812D14 = 559922224824157

9C3A5476B812D014 = 7838911147538198

15

-

-

16

-

-

17

-

-

18

-

-

19

-

-

20

-

-

 

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