Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Primi di Wagstaff generalizzati

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi di Wagstaff generalizzati” i primi della forma (b^p + 1) / (b + 1). Si dimostra facilmente che p dev’essere a sua volta un primo dispari perché il risultato sia primo.

 

Dato che (b^p + 1) / (b + 1) = ((–b)^p – 1) / (–b – 1), questi numeri possono anche essere considerati numeri pluriunitari in base –b (per la rappresentazione dei numeri interi in basi negative v. rappresentazione dei numeri).

 

Se b = an è una potenza con esponente dispari, bp + 1 = anp + 1 è multiplo di ap + 1, che è maggiore di b + 1 = an + 1 per p > n, quindi (b^p + 1) / (b + 1) è composto.

Analogamente se b = 4a4(b^p + 1) / (b + 1) ammette una scomposizione aurifeulliana (v. numeri di Cunningham) ed è composto, tranne nel caso a = 1, p = 3.

 

Gli esperti ritengono che ad eccezione di questi casi, esistano infiniti primi di Wagstaff generalizzati per ogni valore di b; non si conoscono però primi del genere per b uguale ad alcuni valori, come 97, 103, 113, 175, 186, 187, 188, 220, 284, nonostante siano stati esaminati tutti i valori di p fino a 10000 per b fino a 300.

 

La tabella seguente mostra i primi di Wagstaff generalizzati inferiori a 1030, per b fino a 20.

b

Primi

1

Nessuno

2

3, 11, 43, 683, 2731, 43691, 174763, 2796203, 715827883, 2932031007403, 768614336404564651, 201487636602438195784363, 845100400152152934331135470251

3

7, 61, 547, 398581, 23535794707, 82064241848634269407

4

13 e nessun altro

5

521

6

31, 51828151, 189491931189200021056951

7

43, 29078814248401, 3421093417510114543, 402488219476647465854701

8

Nessuno

9

73

10

9091, 909091, 909090909090909091, 909090909090909090909090909091

11

13421, 1623931

12

19141, 57154490053

13

157, 128011456717, 617886851384381281, 104422877883960436477

14

7027567

15

211, 10678711

16

241, 61681, 15790321, 291280009243618888211558641

17

22796593, 45957792327018709121, 1109309383381084655697725873

18

307, 32222107, 3913037558632733048069409307

19

274019342889240109297

20

152381

 

La tabella seguente mostra i valori di p noti che producono primi di Wagstaff generalizzati, per b fino a 20; la tabella comprende tutti i valori di p minori di 1000.

b

Valori di p che producono un primo di Wagstaff generalizzato

1

Nessuno

2

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 31, 43, 61, 79, 101, 127, 167, 191, 199, 313, 347, 701, 1709, 2617, 3539, 5807, 10501, 10691, 11279, 12391, 14479, 42737, 83339, 95369, 117239, 127031, 138937, 141079, 267017, 269987, 374321, 986191, 4031399, 13347311, 13372531

3

3, 5, 7, 13, 23, 43, 281, 359, 487, 577, 1579, 1663, 1741, 3191, 9209, 11257, 12743, 13093, 17027, 26633, 104243, 134227, 152287, 700897, 1205459

4

3 e nessun altro

5

5, 67, 101, 103, 229, 347, 4013, 23297, 30133, 177337, 193939, 266863, 277183, 33542

6

3, 11, 31, 43, 47, 59, 107, 811, 2819, 4817, 9601, 33581, 38447, 41341, 131891, 196337

7

3, 17, 23, 29, 47, 61, 1619, 18251, 106187, 201653

8

Nessuno

9

3, 59, 223, 547, 773, 1009, 1823, 3803, 49223, 193247, 703393

10

5, 7, 19, 31, 53, 67, 293, 641, 2137, 3011, 268207

11

5, 7, 179, 229, 439, 557, 6113, 223999, 327001

12

5, 11, 109, 193, 1483, 11353, 21419, 21911, 24071, 106859, 139739

13

3, 11, 17, 19, 919, 1151, 2791, 9323, 56333, 1199467

14

7, 53, 503, 1229, 22637, 1091401

15

3, 7, 29, 1091, 2423, 54449, 67489, 551927

16

3, 5, 7, 23, 37, 89, 149, 173, 251, 307, 317, 30197, 1025393

17

7, 17, 23, 47, 967, 6653, 8297, 41221, 113621, 233689, 348259

18

3, 7, 23, 73, 733, 941, 1097, 1933, 4651, 481147

19

17, 37, 157, 163, 631, 7351, 26183, 30713, 41201, 77951, 476929

20

5, 79, 89, 709, 797, 1163, 6971, 140053, 177967, 393257

 

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.