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Primi permutabili

Rappresentazione dei numeri 

I primi permutabili, detti anche “primi assoluti”, sono i numeri primi, che rimangono tali per ogni permutazione delle cifre. Sono naturalmente anche primi circolari e primi invertibili.

 

Ogni primo p maggiore di 2 è pluriunitario e quindi permutabile in base p – 1.

 

La tabella seguente mostra i primi permutabili inferiori a 109 nelle basi da 2 a 20, considerando solo la permutazione delle cifre che dà il valore minimo (M. Fiorentini, 2015).

Base

Primi permutabili

2

112 = 3, 1112 = 7, 111112 = 31, 11111112 = 127, 11111111111112 = 8191, 111111111111111112 = 131071, 11111111111111111112 = 524287

3

23 = 2, 123 = 5, 1113 = 13, 11111113 = 1093, 11111111111113 = 797161

4

24 = 2, 34 = 3, 114 = 5, 134 = 7, 1134 = 23

5

25 = 2, 35 = 3, 125 = 7, 235 = 13, 345 = 19, 1115 = 31, 144445 = 1249, 11111115 = 19531, 111111111115 = 12207031, 11111111111115 = 305175781

6

26 = 2, 36 = 3, 56 = 5, 116 = 7, 156 = 11, 1116 = 43, 1556 = 71, 11111116 = 55987

7

27 = 2, 37 = 3, 57 = 5, 147 = 11, 167 = 13, 237 = 17, 257 = 19, 567 = 41, 1557 = 89, 1667 = 97, 14447 = 571, 45557 = 1657, 111117 = 2801

8

28 = 2, 38 = 3, 58 = 5, 78 = 7, 158 = 13, 358 = 29, 378 = 31, 578 = 47, 1118 = 73, 33378 = 1759,

9

29 = 2, 39 = 3, 59 = 5, 79 = 7, 129 = 11, 149 = 13, 189 = 17, 259 = 23, 479 = 43, 789 = 71, 1229 = 101, 7889 = 647, 45559 = 3371, 77789 = 5741

10

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 37, 79, 113, 199, 337

11

211 = 2, 311 = 3, 511 = 5, 711 = 7, 1211 = 13, 1611 = 17, 1811 = 19, 2711 = 29, 2911 = 31, 4311 = 37, 3A11 = 43, 4911 = 53, 5611 = 61, 6711 = 73, 8911 = 97, 11711 = 139, 13911 = 163, 1AA11 = 241, 33511 = 401, 36A11 = 439, 56611 = 677, 58811 = 701, 7AA11 = 967, 277711 = 3593, 9AAA11 = 13309, 7AAAA11 = 117127

12

212 = 2, 312 = 3, 512 = 5, 712 = 7, B12 = 11, 1112 = 13, 1512 = 17, 5712 = 67, 5B12 = 71, 111120 = 157, 11712 = 163, 11B12 = 167, 555B12 = 9431, 1111112 = 22621

13

213 = 2, 313 = 3, 513 = 5, 713 = 7, B13 = 11, 1413 = 17, 1613 = 19, 1A13 = 23, 2313 = 29, 2513 = 31, 3813 = 47, 5113 = 71, 5813 = 73, 6B13 = 89, 7A13 = 101, 7C13 = 103, 9A13 = 127, 11B13 = 193, 13313 = 211, 15513 = 239, 22913 = 373, 24713 = 397, 33B13 = 557, 38813 = 619, 77913 = 1283, 78A13 = 1297, 444513 = 9521, 666713 = 14281, 1111113 = 30941, 111111113 = 5229043

14

214 = 2, 314 = 3, 514 = 5, 714 = 7, B14 = 11, D14 = 13, 1314 = 17, 1514 = 19, 1914 = 23, 3514 = 47, 3B14 = 53, 5914 = 79, 9B14 = 137, 9D14 = 139, BD14 = 167, 11114 = 211, 33D14 = 643, 111914 = 2963, 111111114 = 8108731

15

215 = 2, 315 = 3, 515 = 5, 715 = 7, B15 = 11, D15 = 13, 1215 = 17, 1415 = 19, 1E15 = 29, 2715 = 37, 2B15 = 41, 2D15 = 43, 4715 = 67, 4D15 = 73, 7815 = 113, 8B15 = 131, 11115 = 241, 1DD15 = 433, 22715 = 487, 44B15 = 971, 77D15 = 1693, BEE15 = 2699, 144415 = 4339, 7777D15 = 379693

16

216 = 2, 316 = 3, 516 = 5, 716 = 7, B16 = 11, D16 = 13, 1116 = 17, 1716 = 23, 1F16 = 31, 3516 = 53, 3B16 = 59, 3D16 = 61, 5916 = 89, BF16 = 191, 11516 = 277, 11B16 = 283, 37716 = 887, 55D16 = 1373, 7BB16 = 1979, BDD16 = 3037

17

217 = 2, 317 = 3, 517 = 5, 717 = 7, B17 = 11, D17 = 13, 1617 = 23, 1E17 = 31, 2317 = 37, 2D17 = 47, 3817 = 59, 3A17 = 61, 4517 = 73, 4B14 = 79, 5G17 = 101, 6B17 = 113, 7C17 = 131, 8D17 = 149, 8F17 = 151, 9A17 = 163, AB17 = 181, 11117 = 307, 7AA17 = 2203, 7GG17 = 2311, 6DDD17 = 33469, 1111117 = 88741, 111111117 = 25646167

18

218 = 2, 318 = 3, 518 = 5, 718 = 7, B18 = 11, D18 = 13, H18 = 17, 1118 = 19, 1B18 = 29, 5718 = 97, 5D18 = 103, 5H18 = 107, 7D18 = 139, 11B18 = 353, 11H18 = 359, 1DD18 = 571, 55B18 = 1721, 7BB18 = 2477, 7HH18 = 2591, BBH18 = 3779, BDDD18 = 68611

19

219 = 2, 319 = 3, 519 = 5, 719 = 7, B19 = 11, D19 = 13, H19 = 17, 1A19 = 29, 1C19 = 31, 2B19 = 23, 2519 = 43, 2919 = 47, 3419 = 61, 3A19 = 67, 3E19 = 71, 3G19 = 73, 4719 = 83, 4D19 = 89, 5819 = 103, 5C19 = 107, 5E19 = 109, 5I19 = 113, 7G17 = 149, 7I19 = 151, 8F19 = 167, 9A19 = 181, BE19 = 223, BI19 = 227, DG19 = 263, EH19 = 283, 11319 = 383, 12219 = 401, 1CC19 = 601, 1FF19 = 661, 22D19 = 773, 29E19 = 907, 37719 = 1223, 3AA19 = 1283, 44B19 = 1531, 77H19 = 2677, BFF19 = 4271, 2DDD13 = 18671, 2DDD13 = 19531

20

220 = 2, 320 = 3, 520 = 5, 720 = 7, B20 = 11, D20 = 13, H20 = 17, J20 = 19, 1320 = 23, 1920 = 29, 3A20 = 71, 3D20 = 73, 3J20 = 79, 7B20 = 151, 7H20 = 157, 9B20 = 191, 9D20 = 193, 9H20 = 197, 9J20 = 199, BD20 = 233, DH20 = 277, HJ20 = 359, 11120 = 421, 33H20 = 1277, 77D20 = 2953, 111320 = 8423, 111920 = 8429

 

 

Come si vede dalla tabella, quasi tutti i primi di questo genere sono pluriunitari o formati da cifre tutte uguali tranne una.

Le uniche eccezioni sono: 13911 = 163, 36A11 = 439, 24713 = 397, 78A13 = 1297, 29E19 = 907.

 

In base 10 le ricerche sono state notevolmente estese:

  • non esistono primi permutabili composti da esattamente 2 cifre diverse, ciascuna delle quali compaia almeno due volte (almeno una delle permutazioni produce un multiplo di 7);

  • non esistono primi permutabili composti da esattamente 3 cifre diverse (almeno una delle permutazioni produce un multiplo di 7 o di 13);

  • T.N. Bargawa e P.H Doyle dimostrarono nel 1974 che non esistono primi permutabili composti da esattamente 4 cifre diverse.

Dato che un primo permutabile non può contenere 5 né le cifre pari, da queste dimostrazioni segue che eventuali altri primi permutabili in base 10 sono pluriunitari o formati da cifre tutte uguali tranne una e in questo caso devono avere almeno 9220780800 cifre (Allan W. Johnson Jr., 1977).

Bibliografia

  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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