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Arricciamenti (numero di)

Rappresentazione dei numeri 

Ogni numero naturale può essere rappresentato come (X)(Y)k, dove X e Y sono blocchi di cifre (X può anche essere un blocco vuoto) e l’esponente indica ripetizione k volte; con questa rappresentazione si definisce il massimo possibile valore di k come il “numero di arricciamenti” del numero.

Per esempio, 5123123123123 può essere rappresentato come (5)(123)4, (5123)(123)3, (5123123)(123)2, (5)(123123)2, e in vari modi con k = 1, come 51231231231231, 5 1231231231231, (5123123123)1231, quindi il suo numero di arricciamenti è 4.

 

Se prendiamo un numero e gli concateniamo il suo numero di arricciamenti, otteniamo un nuovo numero; possiamo ripetere l’operazione, generando una sequenza; la congettura del numero di arricciamenti afferma che iterando il procedimento si raggiunge sempre 1 come numero di arricciamenti.

Per esempio, iniziando con 2323, rappresentabile come (23)2, concateniamo 2, ottenendo 23232. Questo numero è rappresentabile come (2)(32)2, quindi concateniamo un altro 2. Proseguendo otteniamo 232322, 2323222 e infine 23232223, che è un numero con numero di arricciamenti uguale a 1.

Non sono state trovate eccezioni e gli esperti ritengono vera la congettura, ma non è stata trovata alcuna dimostrazione.

 

La sequenza di Dion Gijswijt è strettamente legata ai numeri di arricciamenti; si costruisce a partire da 1, concatenando ogni volta il numero di arricciamenti della sequenza sino a quel punto. Si aggiunge quindi 1, poi, avendo due 1 consecutivi, ossia (1)2, un 2 e così via, ottenendo la sequenza infinita che inizia con: 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 2, 1. Qui trovate i primi 1000 termini.

Va notato che se si deve aggiungere un numero di più cifre, come 12, lo si aggiunge come un’entità unica, non come cifre separate.

E’ stato dimostrato che la sequenza contiene numeri grandi a piacere, tuttavia il massimo cresce con lentezza incredibile: il 3 compare come nono termine, bisogna calcolare 220 termini per arrivare a 4, ma oltre 10 alla 10 alla 23 per arrivare a 5. Secondo una congettura, valori n superiori a 5 sono raggiunti all’incirca dopo Torre di potenze da 2 a n - 1 termini.

Bibliografia

  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosit√† matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Gijswijt, Dion C.;  Linderman, John P.;  Sloane, Neil J.A.;  van de Bult, Fokko J.;  Wilks, Allan R.;  "A Slow-Growing Sequence Defined by an Unusual Recurrence" in Journal of Integer Sequences, Vol. 10, 2007.

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