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Plouffe (costante di)

Analisi  Rappresentazione dei numeri 

Definiamo le successioni an, bn e cn come segue:

  • Formula per la definizione della successione a(n)

  • Formula per la definizione della successione b(n)

  • Formula per la definizione della successione c(n)

Come si vede, grazie alle formule di duplicazione, le successioni possono essere definite sia tramite funzioni trigonometriche, sia tramite ricorrenze.

Se definiamo ora una funzione ρ(x) uguale a uno, se x è negativo, zero altrimenti, è facile dimostrare, sempre tramite le formule di duplicazione, che Formula per la definizione di A e Formula per la definizione di C, mentre non si conosce alcuna espressione di Formula per la definizione di B in termini di altre costanti note; M. Chowdhury osservò tuttavia che se si calcola l’or esclusivo bit a bit della rappresentazione binaria della metà delle altre due costanti, si ottiene proprio questo valore, come mostra la tabella seguente. L’or esclusivo (o xor o somma modulo due) di due cifre binarie vale 1 se l’uno o l’altro, ma non entrambe le due cifre sono 1, 0 altrimenti.

Parte della rappresentazione binaria di A

Parte della rappresentazione binaria di C

Parte della rappresentazione binaria di B

Chowdhury dimostrò anche che Formula per la definizione di B’ si può ottenere allo stesso modo dall’or esclusivo delle rappresentazioni binarie di 1 / π e 1 / (4 * π).

Qui trovate le prime 102 cifre decimali di B (Eric Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 102 cifre decimali di B’ (Eric Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

In generale se Formula per la definizione della successione k(n) per |x| ≤ 1, allora si può ottenere Somma che coinvolge i valori della successione k(n) dall’or esclusivo delle rappresentazioni binarie di arccos(x) / π e arccos(x) / (2 * π); si noti che nella rappresentazione binaria uno di questi due numeri si può ottenere dall’altro traslando la sequenza di cifre binarie di un posto a destra o a sinistra.

 

Queste formule danno l’espansione del reciproco di π in termini di segni di seni e tangenti, ma non forniscono un modo di calcolarlo particolarmente efficiente, perché il calcolo dei segni delle funzioni delle potenze di 2 o il calcolo di sin1 con elevata precisione sono altrettanto complicati.

 

Simon Plouffe si chiese se modificando la definizione delle formule, in particolare sostituendo il primo termine delle successioni con un numero razionale, si potessero ottenere altre costanti note e giunse nel 1995 alle seguenti successioni:

  • Formula per la definizione della successione α(n)

  • Formula per la definizione della successione β(n)

  • Formula per la definizione della successione γ(n)

 

Con queste definizioni Formula per la definizione di α e Formula per la definizione di β, ma Formula per la definizione di γ sembrava una costante nuova.

Plouffe arrivò per via numerica a supporre che Formula per il valore di γ; J.M. Borwein e R. Girgensohn dimostrarono nel 1995 che aveva ragione, generalizzando l’ultima sequenza come Formula per la definizione della successione ξ(n) e dimostrando che Formula per la definizione di ξ.

 

La costante γ è oggi chiamata “costante di Plouffe”, com’è giusto che sia, per il modo originale in cui è stata definita, ma il suo valore è noto almeno dai tempi dell’antica Grecia, perché è uno degli angoli che compaiono in in icosaedro regolare.

L’idea alla base della generazione è inoltre analoga a quella alla base dell’algoritmo chiamato CORDIC per il calcolo di funzioni trigonometriche dirette e inverse, comunemente usato dagli anni ’50 e probabilmente già noto ad Archimede.

 

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali costante di Plouffe. 

 

B.H. Margolius dimostrò nel 2002 che la costante di Plouffe è trascendente.

Bibliografia

  • Volder, Jack E.;  "The CORDIC Trigonometric Computing Technique" in IRE Transactions on Electronic Computers, pag. 330 – 334, 1959.

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