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Armstrong (numeri di)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “numeri di Armstrong” o “numeri narcisisti” i numeri naturali di n cifre pari alla somma delle n-esime potenze delle cifre stesse. Per esempio, 153 ha 3 cifre e 153 = 13 + 53 + 33.

 

In qualsiasi base sono in numero finito, perché in base b la somma delle n-esime potenze di un intero di n cifre è al massimo n(b – 1)n, mentre un numero di n cifre è almeno bn – 1 e per n abbastanza grande n(b – 1)n < bn – 1.

Per esempio, in base 10 per n > 60, n9n < 10n – 1, quindi nessun intero di 60 o più cifre può essere un numero di Armstrong.

Allo stesso modo si dimostra che in base 2 c'è solo 1.

 

D. Winter dimostrò nel 1985 che in base 10 sono 88: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 153, 370, 371, 407, 1634, 8208, 9474, 54748, 92727, 93084, 548834, 1741725, 4210818, 9800817, 9926315, 24678050, 24678051, 88593477, 146511208, 472335975, 534494836, 912985153, 4679307774, 32164049650, 32164049651, 40028394225, 42678290603, 44708635679, 49388550606, 82693916578, 94204591914, 28116440335967, 4338281769391370, 4338281769391371, 21897142587612075, 35641594208964132, 35875699062250035, 1517841543307505039, 3289582984443187032, 4498128791164624869, 4929273885928088826, 63105425988599693916, 128468643043731391252, 449177399146038697307, 21887696841122916288858, 27879694893054074471405, 27907865009977052567814, 28361281321319229463398, 35452590104031691935943, 174088005938065293023722, 188451485447897896036875, 239313664430041569350093, 1550475334214501539088894, 1553242162893771850669378, 3706907995955475988644380, 3706907995955475988644381, 4422095118095899619457938, 121204998563613372405438066, 121270696006801314328439376, 128851796696487777842012787, 174650464499531377631639254, 177265453171792792366489765, 14607640612971980372614873089, 19008174136254279995012734740, 19008174136254279995012734741, 23866716435523975980390369295, 1145037275765491025924292050346, 1927890457142960697580636236639, 2309092682616190307509695338915, 17333509997782249308725103962772, 186709961001538790100634132976990, 186709961001538790100634132976991, 1122763285329372541592822900204593, 12639369517103790328947807201478392, 12679937780272278566303885594196922, 1219167219625434121569735803609966019, 12815792078366059955099770545296129367, 115132219018763992565095597973971522400 e 115132219018763992565095597973971522401.

 

In qualsiasi base tutti i numeri di una sola cifra sono numeri di Armstrong, quindi 1 è numero di Armstrong in tutte le basi.

Oltre a questi vi sono anche alcuni rari casi di numeri di Armstrong in più basi; nelle basi da 1 a 20 i casi inferiori a 109 sono: 28 (in base 4 e 5), 29 (in base 4 e 12), 45 (in base 7 e 13), 126 (in base 9 e 11), 133 (in base 7 e 8), 370 (in base 10 e 11), 371 (in base 10 e 16), 793 (in base 13 e 14), 1968 (in base 13 e 19), 2413 (in base 19 e 20), 2755 (in base 15 e 16).

 

A parte il caso banale 1, esistono numeri uguali alla somma dei quadrati delle cifre in base b solo se b2 + 1 è composto, quindi non ne esistono in base 10, come dimostrò N.J. Fine nel 1964.

 

Gli unici numeri uguali alla somma dei cubi delle loro cifre in base 10 sono 153, 370, 371 e 407; P.K. Subramanian dimostrò nel 1968 che in qualsiasi base b i numeri di questo tipo non possono essere di più di 4 cifre, che si riducono a 3 se l’ultima è 0 o 1 e se Radice quadrata della base è irrazionale, ovvero se b non è un quadrato, hanno per forza 3 cifre.

 

Il fatto che in ogni base i numeri di questa categorie e di altre analoghe, come i numeri curiosi, siano in numero finito, non è altro che un caso particolare di un teorema dimostrato da Schwartz nel 1973, che afferma che data una funzione f(x) con argomenti interi, se Limite superiore del rapporto tra la crescita della funzione e la crescita della potenza n-esima della base minore di 1, allora i numeri naturali uguali alla somma dei valori della funzione f applicata alle cifre della loro rappresentazione in base b solo al massimo un numero finito. In pratica il teorema ci dice che questo vale per qualsiasi funzione che cresca più lentamente di nn, come appunto il fattoriale.

Per esempio, per lo stesso teorema sono in numero finito i numeri uguali alla somma dei quadrati dei fattoriali delle loro cifre in qualsiasi base (v. numeri curiosi).

Naturalmente si possono considerare funzioni che crescono più velocemente, come potenze aventi per esponente potenze successive di 2. In altre parole si possono cercare i numeri uguali alla somma della prima cifra, più la seconda al quadrato, più la terza alla quarta e così via (v. numeri potenti (II)). In questo caso il teorema di Schwartz non vale e potrebbero esistere infinite soluzioni.

In base 10 si conoscono due soli numeri con questa proprietà (oltre ai casi banali di una sola cifra): 89 = 81 + 92 e 6603 = 61 + 62 + 04 + 38. E’ improbabile che ne esistano altri, ma non è stato dimostrato.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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