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Tassellature semiregolari (numero di)

Geometria  Matematica combinatoria 

Il numero di tassellature semiregolari in n dimensioni è il numero di modi per tassellare lo spazio n-dimensionale con poligoni, poliedri o politopi regolari di due o più tipi diversi, tali che due figure abbiano in comune solo lati o facce intere (quindi che le lunghezze di lati o spigoli siano tutte uguali) e che ogni vertice sia equivalente a tutti gli altri, ossia che possa essere portato a sovrapporsi a un qualsiasi altro vertice tramite traslazioni e rotazioni, lasciando inalterato lo schema.

 

Non esistono tassellature semiregolari in una dimensione, perché la tassellatura con segmenti uguali è regolare, ma esistono 8 tassellature semiregolari del piano:

  • con quadrati e triangoli, in due modi differenti;

  • con esagoni e triangoli, in due modi differenti;

  • con dodecagoni e triangoli;

  • con ottagoni e quadrati;

  • con esagoni, quadrati e triangoli;

  • con dodecagoni, esagoni e quadrati.

Se si contano separatamente le immagini speculari, le tassellature semiregolari diventano 9, perché una è chinale, ossia diversa dalla sua immagine speculare.

 

Le figure seguenti mostrano le 8 tassellature semiregolari con poligoni regolari del piano.

Quadrati e triangoli.

 

Tassellature semiregolari del piano con quadrati e triangoli

 

 

Esagoni e triangoli; la tassellatura a destra è diversa dalla sua immagine speculare.

 

Tassellature semiregolari del piano con esagoni e triangoli

 

 

Esagoni, quadrati e triangoli.

 

Tassellatura semiregolare del piano con esagoni, quadrati e triangoli

 

 

Ottagoni e quadrati.

 

Tassellatura semiregolare del piano con ottagoni e quadrati

 

 

Dodecagoni e triangoli.

 

Tassellatura semiregolare del piano con dodecagoni e triangoli

 

 

Dodecagoni, esagoni e quadrati.

 

Tassellatura semiregolare del piano con dodecagoni, esagoni e quadrati

 

 

L’unica tassellatura semiregolare dello spazio si ha con tetraedri e ottaedri e la stessa combinazione degli analoghi politopi vale in tutte le dimensioni superiori.

 

Utilizzando poligoni tutti uguali, con lati tutti della stessa lunghezza e a due a due paralleli, si può tassellare il piano in due soli modi: con rombi, e in particolare rettangoli, o esagoni, anche non regolari, come mostrato nelle figure seguenti.

 

 

Tassellatura del piano con rombi

 

Tassellatura del piano con esagoni

 

 

Esistono 5 solidi non regolari con spigoli tutti uguali e facce opposte uguali e parallele capaci di di tassellare lo spazio: parallelepipedi rombici, prisma esagonale, dodecaedro elongato, dodecaedro rombico e ottaedro troncato.

Bibliografia

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessit√†, Torino, Einaudi, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.

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