Il numero di tassellature semiregolari in n dimensioni è il numero di modi per tassellare lo spazio n-dimensionale con poligoni, poliedri o politopi regolari di due o più tipi diversi, tali che due figure abbiano in comune solo lati o facce intere (quindi che le lunghezze di lati o spigoli siano tutte uguali) e che ogni vertice sia equivalente a tutti gli altri, ossia che possa essere portato a sovrapporsi a un qualsiasi altro vertice tramite traslazioni e rotazioni, lasciando inalterato lo schema.
Non esistono tassellature semiregolari in una dimensione, perché la tassellatura con segmenti uguali è regolare, ma esistono 8 tassellature semiregolari del piano:
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con quadrati e triangoli, in due modi differenti;
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con esagoni e triangoli, in due modi differenti;
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con dodecagoni e triangoli;
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con ottagoni e quadrati;
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con esagoni, quadrati e triangoli;
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con dodecagoni, esagoni e quadrati.
Se si contano separatamente le immagini speculari, le tassellature semiregolari diventano 9, perché una è chirale, ossia diversa dalla sua immagine speculare.
Le figure seguenti mostrano le 8 tassellature semiregolari con poligoni regolari del piano.
Quadrati e triangoli.
Esagoni e triangoli; la tassellatura a destra è diversa dalla sua immagine speculare.
Esagoni, quadrati e triangoli.
Ottagoni e quadrati.
Dodecagoni e triangoli.
Dodecagoni, esagoni e quadrati.
L’unica tassellatura semiregolare dello spazio si ha con tetraedri e ottaedri e la stessa combinazione degli analoghi politopi vale in tutte le dimensioni superiori.
Utilizzando poligoni tutti uguali, con lati tutti della stessa lunghezza e a due a due paralleli, si può tassellare il piano in due soli modi: con rombi, e in particolare rettangoli, o esagoni, anche non regolari, come mostrato nelle figure seguenti.
Esistono 5 solidi non regolari con spigoli tutti uguali e facce opposte uguali e parallele capaci di di tassellare lo spazio: parallelepipedi rombici, prisma esagonale, dodecaedro elongato, dodecaedro rombico e ottaedro troncato.
La figura seguente mostra il parallelepipedo rombico, delimitato da 6 rombi.
La figura seguente mostra il prisma esagonale, delimitato da 2 esagoni e 6 rombi.
La figura seguente mostra il dodecaedro rombico, delimitato da 12 rombi.
La figura seguente mostra il dodecaedro elongato, delimitato da 4 esagoni e 8 rombi.
La figura seguente mostra l’ottaedro troncato, delimitato da 8 esagoni regolari e 6 quadrati.
Bibliografia
- Odifreddi, Piergiorgio; La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
- Odifreddi, Piergiorgio; Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.