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Tassellature periodiche (numero di)

Geometria  Matematica combinatoria 

Il numero di tassellature periodiche in n dimensioni è il numero di modi per tassellare lo spazio n-dimensionale con una configurazione periodica.

Si considerano equivalenti due tassellature che differiscano per la forma delle parti utilizzate, ma non per il tipo di trasformazioni (rotazioni, riflessioni, traslazioni e loro combinazioni) che lasciano invariato lo schema.

 

Le 7 tassellature periodiche in una dimensione corrispondono ai 7 modi di costruire un fregio periodico, nel quale un elemento base viene ripetuto traslato e sottoposto a una qualsiasi combinazione di tre trasformazioni: riflessione rispetto all’asse orizzontale, riflessione rispetto all’asse verticale, rotazione di 180°. Le sette combinazioni risultanti possono essere esemplificate con i seguenti esempi:

  • FFFFFFFF, invariante solo per traslazione;

  • EEEEEEEE, invariante per traslazione o riflessione rispetto all’asse orizzontale;

  • TTTTTTTT, invariante per traslazione o riflessione rispetto all’asse verticale;

  • ZZZZZZZZ, invariante per traslazione o rotazione di 180°;

  • HHHHHHHH, invariante per traslazione o riflessione rispetto all’asse orizzontale o verticale;

  • bpbpbpbp; invariante per traslazione o riflessione rispetto all’asse orizzontale seguita da una traslazione;

  • bdpqbdpq; invariante per traslazione, riflessione rispetto all’asse orizzontale e verticale o rotazione di 180°.

Tutte sono note da tempi immemorabili e abbondantemente utilizzate nelle decorazioni.

 

Le 17 tassellature periodiche in due dimensioni corrispondono ai 17 schemi di mosaici periodici. Sono largamente usate nell’arte e nelle decorazioni e sono note da secoli: nell’Alhambra di Granada, per esempio, si trovano esempi di tutte e 17.

 

Le figure seguenti mostano i 17 schemi; i colori evidenziano le varie rotazioni e riflessioni dell’elemento base, mentre le linee colorate all’interno evidenziano le riflessioni. Ogni elemento può essere deformato in infiniti modi e decorato a piacere.

 

Il primo schema è costituito da tassellature formate da una figura traslata, senza rotazioni o riflessioni, come le tassellature con rombi o esagoni con lati uguali e paralleli (v. tassellature semiregolari), e quelle mostrate nella figura seguente.

 

Primo schema di tassellature periodiche

 

 

Il secondo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a una sua copia ruotata di 180°, come quelle mostrate nella figura seguente.

 

Secondo schema di tassellature periodiche

 

 

Il terzo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a una sua copia riflessa, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Terzo schema di tassellature periodiche

 

 

Il quarto schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a una sua copia riflessa e traslata lungo l’asse di riflessione, come quella mostrata nella figura seguente

 

Quarto schema di tassellature periodiche

 

 

Il quinto schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a una sua copia riflessa e tali che a ogni elemento ne corrisponda un’altro traslato lungo l’asse di riflessione per una distanza pari a metà della sua lunghezza, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Quinto schema di tassellature periodiche

 

 

Il sesto schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a tre sue copie riflesse lungo due assi perpendicolari, come quella mostrata nella figura seguente

 

Sesto schema di tassellature periodiche

 

 

Il settimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a una sua copia ruotata di 180° e ad altre due, ottenute per riflessione speculare della prima coppia, in modo che nessuna figura sia a contatto con una sua copia traslata, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Settimo schema di tassellature periodiche

 

 

L’ottavo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a una sua copia ruotata di 180°, e ad altre due, ottenute per riflessione speculare delle prime due, in modo che ogni figura sia a contatto in un punto con due sue copie, traslate lungo lo stesso asse, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Ottavo schema di tassellature periodiche

 

 

Il nono schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a una sua copia riflessa, e ad altre due, ottenute per riflessione speculare delle prime due, in modo che nessuna figura sia a contatto con una sua copie  traslata, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Nono schema di tassellature periodiche

 

 

Il decimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a tre sue copie, ruotate di 90°, 180° e 270°, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Decimo schema di tassellature periodiche

 

 

L’undicesimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a tre sue copie, ruotate di 90°, 180° e 270°, e alle riflessioni speculari di queste 4, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Undicesimo schema di tassellature periodiche

 

 

Il dodicesimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a tre sue copie, ruotate di 90°, 180° e 270°, e alle riflessioni speculari di queste 4, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Dodicesimo schema di tassellature periodiche

 

 

Il tredicesimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a tre sue copie, ruotate di 120° e 240°, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Tredicesimo schema di tassellature periodiche

 

 

Il quattordicesimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a cinque sue copie, successivamente riflesse lungo assi via via ruotati di 60°, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Quattordicesimo schema di tassellature periodiche

 

 

Il quindicesimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a cinque sue copie, due ruotate di 120° e 240°, le altre riflessioni speculari delle prime tre, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Quindicesimo schema di tassellature periodiche

 

 

Il sedicesimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a cinque sue copie, ruotate di 60°, 120°, 180°, 240° e 300°, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Sedicesimo schema di tassellature periodiche

 

 

Il diciassettesimo schema è costituito da tassellature formate da una figura unita a cinque sue copie, ruotate di 60°, 120°, 180°, 240° e 300°, come quella mostrata nella figura seguente.

 

Diciassettesimo schema di tassellature periodiche

 

 

Il diciottesimo problema della famosa lista di Hilbert chiedeva di dimostrare che il numero di tassellature periodiche è finito per ogni valore di n e la dimostrazione arrivò nel 1910 per merito di L. Bieberbach. Nel 1890 E.S. Federov aveva dimostrato che tale numero è 230 in tre dimensioni, che si riducono a 219 se non si contano le riflessioni speculari, e nel 1891 lo stesso Fedorov aveva dimostrato che il numero è 7 in una dimensione e 17 in due. Solo negli anni ’70 è stato dimostrato che il numero è 4783 in 4 dimensioni e nulla si sa a proposito delle dimensioni superiori.

Bibliografia

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessit√†, Torino, Einaudi, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.

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