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Tassellature periodiche (numero di)

Geometria  Matematica combinatoria 

Il numero di tassellature periodiche in n dimensioni è il numero di modi per tassellare lo spazio n-dimensionale con una configurazione periodica.

Si considerano equivalenti due tassellature che differiscano per la forma delle parti utilizzate, ma non per il tipo di trasformazioni (rotazioni, riflessioni, traslazioni e loro combinazioni) che lasciano invariato lo schema.

 

Le 7 tassellature periodiche in una dimensione corrispondono ai 7 modi di costruire un fregio periodico, nel quale un elemento base viene ripetuto traslato e sottoposto a una qualsiasi combinazione di tre trasformazioni: riflessione rispetto all’asse orizzontale, riflessione rispetto all’asse verticale, rotazione di 180°. Le sette combinazioni risultanti possono essere esemplificate con i seguenti esempi:

  • FFFFFFFF, invariante solo per traslazione;

  • EEEEEEEE, invariante per traslazione o riflessione rispetto all’asse orizzontale;

  • TTTTTTTT, invariante per traslazione o riflessione rispetto all’asse verticale;

  • ZZZZZZZZ, invariante per traslazione o rotazione di 180°;

  • HHHHHHHH, invariante per traslazione o riflessione rispetto all’asse orizzontale o verticale;

  • bpbpbpbp; invariante per traslazione o riflessione rispetto all’asse orizzontale seguita da una traslazione;

  • bdpqbdpq; invariante per traslazione, riflessione rispetto all’asse orizzontale e verticale o rotazione di 180°.

Tutte sono note da tempi immemorabili e abbondantemente utilizzate nelle decorazioni.

 

Le 17 tassellature periodiche in due dimensioni corrispondono ai 17 schemi di mosaici periodici. Sono largamente usate nell’arte e nelle decorazioni e sono note da secoli: nell’Alhambra di Granada, per esempio, si trovano esempi di tutte e 17.

 

Il diciottesimo problema della famosa lista di Hilbert chiedeva di dimostrare che il numero di tassellature periodiche è finito per ogni valore di n e la dimostrazione arrivò nel 1910 per merito di L. Bieberbach. Nel 1890 E.S. Federov aveva dimostrato che tale numero è 230 in tre dimensioni, che si riducono a 219 se non si contano le riflessioni speculari, e nel 1891 lo stesso Fedorov aveva dimostrato che il numero è 7 in una dimensione e 17 in due. Solo negli anni ’70 è stato dimostrato che il numero è 4783 in 4 dimensioni e nulla si sa a proposito delle dimensioni superiori.

Bibliografia

  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessit√†, Torino, Einaudi, 2000.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  Una via di fuga, Milano, Mondadori, 2011.

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