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Armonici generalizzati (numeri)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri armonici generalizzati”, di solito indicati come Hn,r, le somme parziali della serie Serie per la definizione di ζ(r): Formula per la definizione dei numeri armonici generalizzati.

 

Alcune formule che coinvolgono i numeri armonici generalizzati:

Formula per il calcolo dei numeri armonici generalizzati;

Formula per il calcolo dei numeri armonici generalizzati, dove Numero di Stirling di prima specie è un numero di Stirling di prima specie;

Formula per il calcolo dei numeri armonici generalizzati, dove Numero di Stirling di prima specie è un numero di Stirling di prima specie;

Hn,r = 2r – 1(H2n,r – H’2n,r), dove Formula per H'(n, r) è la serie a segni alternati;

Formula per il calcolo dei numeri armonici generalizzati;

Formula per il calcolo dei numeri armonici generalizzati, per r dispari e maggiore di 1;

Formula che coinvolge numeri armonici generalizzati;

Formula che coinvolge numeri armonici generalizzati (Flajolet e Sedgewick).

 

Alcune formule per le somme di numeri armonici generalizzati:

Formula che coinvolge numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati (B. Cloitre, 2004);

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati (P. Simone, 2003) e in particolare Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati (D.-Y. Zheng 2007);

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati, per |z| < 1;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati, per |z| < 1;

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati (M. Trott);

Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati per |z| < 1 (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006).

 

Dalla relazione Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati (P. Simone, 2004) derivano alcuni casi particolari interessanti, come: Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati e Formula per una somma contenente numeri armonici generalizzati.

 

Per ogni valore di m Formula che coinvolge numeri armonici generalizzati è strettamente decrescente per n > 1.

 

Nel 2011 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per n > 4 esista un primo p tale che Hn, 2 ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.

 

Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose la congettura che per ogni valore di m e per n > 2, Formula che coinvolge numeri armonici generalizzati sia strettamente crescente; la congettura fu dimostrata l’anno seguente dallo stesso Sun, Qing-Hu Hou e Haomin Wen.

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p > 5 esista un primo q ≤ (p – 1) / 2 tale che Hq – 1, 2 mod p sia una radice primitiva di p.

 

J.W.L. Glaisher dimostrò nel 1900 che se p è un primo maggiore di m + 2, Congruenza soddisfatta dai numeri armonici generalizzati se m è pari e Congruenza soddisfatta dai numeri armonici generalizzati se m è dispari; di conseguenza se p è un primo maggiore di m + 2, Hp – 1,m ≡ 0 mod p, se m è pari e Hp – 1,m ≡ 0 mod p2, se m è dispari.

 

Congruenza soddisfatta dai numeri armonici, per p primo e maggiore di 3 (E. Lehmer, 1938).

 

Zhi-Wei Sun dimostrò nel 2000 che, per p primo:

  • Congruenza soddisfatta dai numeri armonici, per p > 3;

  • Congruenza soddisfatta dai numeri armonici generalizzati, per p > 3;

  • Congruenza soddisfatta dai numeri armonici generalizzati, per p > 5.

 

Se p è primo valgono le seguenti congruenze:

  • Congruenza soddisfatta dai numeri armonici generalizzati, per p > 3 (H. Schwindt, 1933);

  • 2Hp – 1 ≡ –pHp – 1, 2 mod p4, per p > 5 (J. Zhao, 2007);

  • Congruenza soddisfatta dai numeri armonici generalizzati (Romeo Meštrović, 2011).

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri armonici generalizzati Hk, n (approssimati), per k fino a 10 e n fino a 20.

n \ k

2

3

4

5

6

1

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

2

1.2500000000

1.1250000000

1.0625000000

1.0312500000

1.0156250000

3

1.3611111111

1.1620370370

1.0748456790

1.0353652263

1.0169967421

4

1.4236111111

1.1776620370

1.0787519290

1.0363417888

1.0172408827

5

1.4636111111

1.1856620370

1.0803519290

1.0366617888

1.0173048827

6

1.4913888889

1.1902916667

1.0811235340

1.0367903897

1.0173263162

7

1.5117970522

1.1932071186

1.0815400271

1.0368498887

1.0173348161

8

1.5274220522

1.1951602436

1.0817841677

1.0368804063

1.0173386308

9

1.5397677312

1.1965319857

1.0819365835

1.0368973413

1.0173405124

10

1.5497677312

1.1975319857

1.0820365835

1.0369073413

1.0173415124

11

1.5580321940

1.1982833005

1.0821048848

1.0369135506

1.0173420769

12

1.5649766384

1.1988620042

1.0821531101

1.0369175693

1.0173424118

13

1.5708937982

1.1993171703

1.0821881229

1.0369202626

1.0173426190

14

1.5759958390

1.1996816018

1.0822141537

1.0369221220

1.0173427518

15

1.5804402834

1.1999778981

1.0822339068

1.0369234388

1.0173428396

16

1.5843465334

1.2002220387

1.0822491656

1.0369243925

1.0173428992

17

1.5878067411

1.2004255803

1.0822611387

1.0369250968

1.0173429406

18

1.5908931608

1.2005970481

1.0822706646

1.0369256260

1.0173429700

19

1.5936632439

1.2007428420

1.0822783380

1.0369260299

1.0173429913

20

1.5961632439

1.2008678420

1.0822845880

1.0369263424

1.0173430069

 

k \ n

7

8

9

10

1

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

1.0000000000

2

1.0078125000

1.0039062500

1.0019531250

1.0009765625

3

1.0082697474

1.0040586658

1.0020039303

1.0009934976

4

1.0083307825

1.0040739246

1.0020077450

1.0009944513

5

1.0083435825

1.0040764846

1.0020082570

1.0009945537

6

1.0083471548

1.0040770800

1.0020083562

1.0009945702

7

1.0083483690

1.0040772534

1.0020083810

1.0009945737

8

1.0083488459

1.0040773130

1.0020083884

1.0009945747

9

1.0083490550

1.0040773363

1.0020083910

1.0009945750

10

1.0083491550

1.0040773463

1.0020083920

1.0009945751

11

1.0083492063

1.0040773509

1.0020083924

1.0009945751

12

1.0083492342

1.0040773532

1.0020083926

1.0009945751

13

1.0083492501

1.0040773545

1.0020083927

1.0009945751

14

1.0083492596

1.0040773551

1.0020083928

1.0009945751

15

1.0083492654

1.0040773555

1.0020083928

1.0009945751

16

1.0083492692

1.0040773558

1.0020083928

1.0009945751

17

1.0083492716

1.0040773559

1.0020083928

1.0009945751

18

1.0083492732

1.0040773560

1.0020083928

1.0009945751

19

1.0083492744

1.0040773561

1.0020083928

1.0009945751

20

1.0083492751

1.0040773561

1.0020083928

1.0009945751

 

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