Si chiamano “numeri armonici generalizzati”, di solito indicati come Hn,r, le somme parziali della serie :
.
Alcune formule che coinvolgono i numeri armonici generalizzati:
;
, dove
è un numero di Stirling di prima specie;
, dove
è un numero di Stirling di prima specie;
Hn,r = 2r – 1(H2n,r – H’2n,r), dove è la serie a segni alternati;
;
, per r dispari e maggiore di 1;
;
(Flajolet e Sedgewick).
Alcune formule per le somme di numeri armonici generalizzati:
;
;
(B. Cloitre, 2004);
;
;
;
(P. Simone, 2003) e in particolare
;
;
;
;
(D.-Y. Zheng 2007);
, per |z| < 1;
, per |z| < 1;
(M. Trott);
per |z| < 1 (Jesús Guillera e Jonathan Sondow, 2006).
Dalla relazione (P. Simone, 2004) derivano alcuni casi particolari interessanti, come:
e
.
Per ogni valore di m è strettamente decrescente per n > 1.
Nel 2011 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per n > 4 esista un primo p tale che Hn, 2 ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.
Nel 2012 Zhi-Wei Sun propose la congettura che per ogni valore di m e per n > 2, sia strettamente crescente; la congettura fu dimostrata l’anno seguente dallo stesso Sun, Qing-Hu Hou e Haomin Wen.
Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p > 5 esista un primo tale che Hq – 1, 2 mod p sia una radice primitiva di p.
J.W.L. Glaisher dimostrò nel 1900 che se p è un primo maggiore di m + 2, se m è pari e
se m è dispari; di conseguenza se p è un primo maggiore di m + 2, Hp – 1,m ≡ 0 mod p, se m è pari e Hp – 1,m ≡ 0 mod p2, se m è dispari.
, per p primo e maggiore di 3 (E. Lehmer, 1938).
Zhi-Wei Sun dimostrò nel 2000 che, per p primo:
-
, per p > 3;
-
, per p > 3;
-
, per p > 5.
Se p è primo valgono le seguenti congruenze:
-
, per p > 3 (H. Schwindt, 1933);
-
2Hp – 1 ≡ –pHp – 1, 2 mod p4, per p > 5 (J. Zhao, 2007);
-
(Romeo Meštrović, 2011).
Le tabelle seguenti mostrano i numeri armonici generalizzati Hk, n (approssimati), per k fino a 10 e n fino a 20.
n \ k |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
1 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
2 |
1.2500000000 |
1.1250000000 |
1.0625000000 |
1.0312500000 |
1.0156250000 |
3 |
1.3611111111 |
1.1620370370 |
1.0748456790 |
1.0353652263 |
1.0169967421 |
4 |
1.4236111111 |
1.1776620370 |
1.0787519290 |
1.0363417888 |
1.0172408827 |
5 |
1.4636111111 |
1.1856620370 |
1.0803519290 |
1.0366617888 |
1.0173048827 |
6 |
1.4913888889 |
1.1902916667 |
1.0811235340 |
1.0367903897 |
1.0173263162 |
7 |
1.5117970522 |
1.1932071186 |
1.0815400271 |
1.0368498887 |
1.0173348161 |
8 |
1.5274220522 |
1.1951602436 |
1.0817841677 |
1.0368804063 |
1.0173386308 |
9 |
1.5397677312 |
1.1965319857 |
1.0819365835 |
1.0368973413 |
1.0173405124 |
10 |
1.5497677312 |
1.1975319857 |
1.0820365835 |
1.0369073413 |
1.0173415124 |
11 |
1.5580321940 |
1.1982833005 |
1.0821048848 |
1.0369135506 |
1.0173420769 |
12 |
1.5649766384 |
1.1988620042 |
1.0821531101 |
1.0369175693 |
1.0173424118 |
13 |
1.5708937982 |
1.1993171703 |
1.0821881229 |
1.0369202626 |
1.0173426190 |
14 |
1.5759958390 |
1.1996816018 |
1.0822141537 |
1.0369221220 |
1.0173427518 |
15 |
1.5804402834 |
1.1999778981 |
1.0822339068 |
1.0369234388 |
1.0173428396 |
16 |
1.5843465334 |
1.2002220387 |
1.0822491656 |
1.0369243925 |
1.0173428992 |
17 |
1.5878067411 |
1.2004255803 |
1.0822611387 |
1.0369250968 |
1.0173429406 |
18 |
1.5908931608 |
1.2005970481 |
1.0822706646 |
1.0369256260 |
1.0173429700 |
19 |
1.5936632439 |
1.2007428420 |
1.0822783380 |
1.0369260299 |
1.0173429913 |
20 |
1.5961632439 |
1.2008678420 |
1.0822845880 |
1.0369263424 |
1.0173430069 |
k \ n |
7 |
8 |
9 |
10 |
1 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
1.0000000000 |
2 |
1.0078125000 |
1.0039062500 |
1.0019531250 |
1.0009765625 |
3 |
1.0082697474 |
1.0040586658 |
1.0020039303 |
1.0009934976 |
4 |
1.0083307825 |
1.0040739246 |
1.0020077450 |
1.0009944513 |
5 |
1.0083435825 |
1.0040764846 |
1.0020082570 |
1.0009945537 |
6 |
1.0083471548 |
1.0040770800 |
1.0020083562 |
1.0009945702 |
7 |
1.0083483690 |
1.0040772534 |
1.0020083810 |
1.0009945737 |
8 |
1.0083488459 |
1.0040773130 |
1.0020083884 |
1.0009945747 |
9 |
1.0083490550 |
1.0040773363 |
1.0020083910 |
1.0009945750 |
10 |
1.0083491550 |
1.0040773463 |
1.0020083920 |
1.0009945751 |
11 |
1.0083492063 |
1.0040773509 |
1.0020083924 |
1.0009945751 |
12 |
1.0083492342 |
1.0040773532 |
1.0020083926 |
1.0009945751 |
13 |
1.0083492501 |
1.0040773545 |
1.0020083927 |
1.0009945751 |
14 |
1.0083492596 |
1.0040773551 |
1.0020083928 |
1.0009945751 |
15 |
1.0083492654 |
1.0040773555 |
1.0020083928 |
1.0009945751 |
16 |
1.0083492692 |
1.0040773558 |
1.0020083928 |
1.0009945751 |
17 |
1.0083492716 |
1.0040773559 |
1.0020083928 |
1.0009945751 |
18 |
1.0083492732 |
1.0040773560 |
1.0020083928 |
1.0009945751 |
19 |
1.0083492744 |
1.0040773561 |
1.0020083928 |
1.0009945751 |
20 |
1.0083492751 |
1.0040773561 |
1.0020083928 |
1.0009945751 |