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Shapiro – Drinfeld (costante di)

Algebra 

H.S. Shapiro considerò nel 1954 somme del tipo: Formula per la definizione di S, con i vari xn reali non negativi e tutti i denominatori maggiori di zero, chiedendosi quale fosse il limite inferiore di S / n.

Per esempio:

  • se n = 4 con x1 = 1, x2 = 2, x3 = 3, x4 = 4 e n = 4, otteniamo Valore di S e Valore di S / n;

  • se n = 10 e prendiamo per i vari xk i primi 10 numeri primi otteniamo Valore di S e Valore di S / n.

 

Sembra che il minimo valore possibile di una somma del genere non possa essere inferiore a n / 2, valore ottenibile per ogni intero n > 1 prendendo lo stesso valore per tutti i vari xk, e, in effetti, era stato dimostrato che è così per n pari e non superiore a 12 o dispari e non superiore a 23, ma nel 1956 M.J. Lighthill trovò un controesempio con n = 20 e R.A. Rankin nel 1958 dimostrò che all’aumentare di n il minimo valore di S può scendere, tendendo a un limite, λn, con λ minore di 0.5 – 7 • 10–8.

La costante λ è chiamata “costante di di Shapiro – Drinfeld” o “costante delle somme cicliche di Shapiro”; il suo valore fu in seguito determinato con maggiore precisione e trovato circa uguale a 0.4945668172.

Qui trovate le prime 100 cifre decimali della costante di Shapiro – Drinfeld (Eric W. Weisstein e Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

In seguito furono scoperti controesempi per n = 14 e n = 25 e venne dimostrato che S / n non può essere inferiore a 1 / 2 per n minore di 13 o dispari e minore di 25 e che pertanto tali controesempi sono quelli con i minimi possibili valori di n.

 

V.G. Drinfeld scoprì nel 1971 una sorprendente interpretazione geometrica di λ: se tracciamo le curve y = 1 / e^x e y = 2 / (e^x + sqrt(e^x)), esiste una retta tangente a entrambe, indicata in blu nella figura.

Parte del grafico delle due curve e della tangente comune

La retta ha equazione y = ax + b, dove b è il doppio della nostra costante λ.

Questo permise tra l’altro a D. Radclife di calcolarne 5000 cifre nel 1999.

 

Tra le numerose generalizzazioni e varianti, ne cito una: le somme del tipo: Formula per la definizione di S, sempre con i vari xn reali non negativi e tutti i denominatori maggiori di zero. In questo caso il limite inferiore di S / n, comunemente indicato con μ, è circa 0.9780124782. Anche in questo caso il limite è legato alla tangente comune a due curve: y = (1 + e^x) / 2 e y = (1 + e^x) / (1 + sqrt(e^x)); la loro tangente comune, mostrata in blu nella figura, ha parametro b uguale a μ.

Parte del grafico delle due curve e della tangente comune

Qui trovate le prime 100 cifre decimali di μ (Eric W. Weisstein e Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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