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Pitagorici (numeri) (II)

Geometria  Teoria dei numeri 

Alcuni Autori chiamano “numeri pitagorici” i numeri naturali che rappresentano l’area di un triangolo rettangolo con lati interi. Sono quindi tutti numeri congruenti.

 

I numeri pitagorici hanno la forma r2ab(a2b2), con a, b e r interi, a > b, a e b primi tra loro, l’uno pari e l’altro dispari.

 

Il numero P(n) di numeri pitagorici minori di n cresce come Radice quadrata di n; più precisamente Limite asintotico che coinvolge il numero di numeri pitagorici minori di n (J. Lambek e Leo Moser, 1955) (v. costanti delle terne pitagoriche).

 

Si chiamano “numeri pitagorici primitivi” quelli che rappresentano l’area di un triangolo primitivo, i cui lati cioè non sono multipli di quelli di un altro triangolo rettangolo con lati interi.

I numeri pitagorici primitivi hanno la forma ab(a2b2), con a e b interi, a > b, a e b primi tra loro, l’uno pari e l’altro dispari.

 

Si chiamano “numeri pitagorici indipendenti” quelli che non sono della forma k2n, dove n è un numero pitagorico.

Tutti i numeri pitagorici indipendenti sono primitivi, ma non viceversa.

 

Per capire la sottile differenza tra numeri pitagorici primitivi e indipendenti, bisogna considerare che un numero pitagorico può essere l’area di più triangoli rettangoli differenti, sempre con lati interi. Per esempio, 840 è un numero pitagorico primitivo, perché è l’area del triangolo con lati 15, 112, 113, che è primitivo, ma non è un numero pitagoricoindipendente, perché è uguale a 22210 e 210 è l’area del triangolo con lati 20, 21 e 29.

 

I numeri pitagorici minori di 1000 sono: 6, 24, 30, 54, 60, 84, 96, 120, 150, 180, 210, 216, 240, 270, 294, 330, 336, 384, 480, 486, 504, 540, 546, 600, 630, 720, 726, 750, 756, 840, 864, 924, 960, 990.

Qui trovate i numeri pitagorici minori di 109.

 

I numeri pitagorici primitivi minori di 10000 sono: 6, 30, 60, 84, 180, 210, 330, 504, 546, 630, 840, 924, 990, 1386, 1560, 1716, 2310, 2340, 2574, 2730, 3036, 3570, 3900, 4080, 4290, 4620, 4914, 5016, 5610, 5814, 6630, 7956, 7980, 8970, 8976, 9690.

Qui trovate i numeri pitagorici primitivi minori di 109.

 

I numeri pitagorici indipendenti minori di 100000 sono: 6, 30, 60, 84, 180, 210, 330, 504, 546, 630, 924, 990, 1386, 1560, 1716, 2310, 2340, 2574, 2730, 3036, 3570, 3900, 4080, 4290, 4620, 5016, 5610, 5814, 6630, 7956, 7980, 8970, 8976, 9690, 10374, 10626, 10710, 11550, 12540, 12654, 13566, 13800, 14820, 17550, 18096, 18354, 18564, 21924, 22134, 22770, 23760, 24150, 25806, 25944, 26220, 26970, 29580, 30600, 31050, 32736, 35700, 36270, 37050, 37740, 39150, 39270, 40194, 43890, 46284, 46620, 47196, 48546, 49476, 49590, 51330, 51414, 54834, 56730, 59334, 59340, 60060, 60900, 61380, 62496, 63960, 68034, 71610, 72930, 74046, 77004, 84870, 85140, 85470, 85560, 87906, 88350, 90090, 95700, 97236, 97290, 98040, 98670.

Qui trovate i numeri pitagorici indipendenti minori di 109.

 

Un numero pitagorico primitivo maggiore di 6 ha almeno 3 fattori primi distinti.

 

I numeri pitagorici sono multipli di 6.

 

Si suppone che nessun numero di Fibonacci sia pitagorico.

 

Nessun numero pitagorico è un quadrato (Fermat).

 

Supriya Mohanty e S.P. Mohanty dimostrarono nel 1988 che vi sono infiniti numeri pitagorici uguali al prodotto di due numeri consecutivi, in particolare tutti gli interi di una delle forme:

  • n4(n4 – 1);

  • Formula per numeri pitagorici uguali al prodotto di due interi consecutivi, per n dispari.

  • Fn + 1Fn + 2(Fn + 1Fn + 2 + (–1)n); in questo caso il numero è pitagorico primitivo.

 

Supriya Mohanty e S.P. Mohanty dimostrarono nel 1988 che:

  • per n > 12 vi è sempre almeno un numero pitagorico tra n e 2n;

  • i numeri della forma n(n + 1)(2n + 1), uguali a 6 volte un numero piramidale (I), sono pitagorici primitivi;

  • se e solo se n è un numero pitagorico, esistono 4 interi a, b, c e d tali che n = ab = cd e a + b = cd = m, dove m è la lunghezza dell’ipotenusa del triangolo (Supriya Mohanty e S.P. Mohanty, 1988);

  • se tre interi a, b e c formano una progressione aritmetica con differenza d tra termini successivi, abcd è un numero pitagorico; se b e d sono primi tra loro e di parità opposta, il numero è pitagorico primitivo; di conseguenza il prodotto di tre interi consecutivi è un numero pitagorico e se il primo e l’ultimo sono dispari, il numero è pitagorico primitivo.

  • il prodotto di quattro interi consecutivi è un numero pitagorico non primitivo, se il minimo o il massimo della sequenza sono quadrati;

  • il prodotto di tre numeri di Fibonacci F2nF2n + 1F2n + 2 è un numero pitagorico; se il numero centrale è dispari, il numero è pitagorico primitivo;

  • il prodotto di tre numeri di Fibonacci F2nF2n + 2F2n + 4 è un numero pitagorico; se il numero centrale è pari, il numero è pitagorico primitivo .

  • il prodotto di quattro numeri di Fibonacci FnFn + 1Fn + 2Fn + 3 è un numero pitagorico; se tra Fn + 1 e Fn + 2 uno è pari e l’altro dispari, il numero è pitagorico primitivo.

  • il prodotto di quattro numeri di Lucas LnLn + 1Ln + 2Ln + 3 è un numero pitagorico; se tra Ln + 1 e Ln + 2 uno è pari e l’altro dispari, il numero è pitagorico primitivo;

  • esistono infiniti numeri pitagorici potenti, perché se n è pitagorico, m2n2k + 1 è pitagorico e potente;

  • nessun numero di Lucas è pitagorico;

  • l’ultima cifra dei numeri pitagorici è 0, 4 o 6.

 

Mohanty e Mohanty dimostrarono che esistono infinite coppie di numeri pitagorici con differenza 6, come 24 e 30, e in particolare che:

  • se Formula per r e Formula per s, per k intero e maggiore di zero, 30r2e 6s2 sono numeri pitagorici e il valore assoluto della loro differenza è 6;

  • se Formula per r e Formula per s, per k intero e maggiore di zero, 60r2e 6s2 sono numeri pitagorici e il valore assoluto della loro differenza è 6.

Il metodo usato dai due matematici per trovare queste sequenze puo essere utilizzato per trovarne infinite altre.

 

Mohanty e Mohanty trovarono alcune sequenze infinite di numeri pitagorici primitivi, ma non indipendenti:

  • se a = 18k2 + 12k + 2 e b = 6k2 + 4k + 1, n = ab(a + b)(ab) è un numero pitagorico primitivo, area del triangolo di lati 2ab, (a2b2) e (a2 + b2), ma non è un numero pitagorico indipendente, perché n = (3k + 1)2m, dove m = (12k2 + 8k + 1)(12k2 + 8k + 2)(24k2 + 16k + 3) è un numero pitagorico primitivo, area del triangolo di lati 2(12k2 + 8k + 3)(12k2 + 8k + 1), 24k2 + 16k + 3 e 288k4 + 384k3 + 200k2 + 48k + 5;

  • se a = 18k2 + 24k + 8 e b = 6k2 + 8k + 3, n = ab(a + b)(ab) è un numero pitagorico primitivo, area del triangolo di lati 2ab, (a2b2) e (a2 + b2), ma non è un numero pitagorico indipendente, perché n = (3k + 21)2m, dove m = (12k2 + 16k + 6)(12k2 + 16k + 5)(24k2 + 32k + 11) è un numero pitagorico primitivo, area del triangolo di lati 2(12k2 + 16k + 6)(12k2 + 16k + 5), 24k2 + 32k + 11 e 288k4 + 768k3 + 776k2 + 352k + 61;

  • se Formula per k (con s non multiplo di 3), a = 6k + 2 e b = 2k + 1, n = ab(a + b)(ab) è un numero pitagorico primitivo, area del triangolo di lati 2ab, (a2b2) e (a2 + b2), ma non è un numero pitagorico indipendente, perché n = s2m, dove m = (4k + 2)(8k + 3)(4k + 1) è un numero pitagorico primitivo, area del triangolo di lati 2(4k + 2)(4k + 1), 8k + 3 e 32k2 + 24k + 5.

 

Bert Miller propose di chiamare questi numeri “dispettosi”, perché se n è pitagorico, esistono quattro interi a, b, c e d, tali che n = ab = cd e a + b = cd = m, quindi la scomposizione di x2 + mx + n = (x + a)(x + b) si può confondere con quella di x2 + mxn = (x + c)(xd). Il nome mi sembra eccessivamente penalizzante per numeri tutto sommato innocenti: basta un minimo di attenzione per non sbagliare i segni.

 

Per più triangoli rettangoli con lati interi e la stessa area v. numeri pitagorici (I).

 

A parte 6, il minimo numero pitagorico palindromo è 63336; per altri esempi v. numeri palindromi.

6, 30, 60, 84, 180, 210, 330, 504, 546, 630, 924, 990, 1386, 1560, 1716, 2310, 2340, 2574, 2730, 3036, 3570, 3900, 4080, 4290, 4620, 5016, 5610, 5814, 6630, 7956, 7980, 8970, 8976, 9690, 10374, 10626, 10710, 11550, 12540, 12654, 13566, 13800, 14820, 17550, 18096, 18354, 18564, 21924, 22134, 22770, 23760, 24150, 25806, 25944, 26220, 26970, 29580, 30600, 31050, 32736, 35700, 36270, 37050, 37740, 39150, 39270, 40194, 43890, 46284, 46620, 47196, 48546, 49476, 49590, 51330, 51414, 54834, 56730, 59334, 59340, 60060, 60900, 61380, 62496, 63960, 68034, 71610, 72930, 74046, 77004, 84870, 85140, 85470, 85560, 87906, 88350, 90090, 95700, 97236, 97290, 98040, 98670

Bibliografia

  • Miller, Bert;  "Nasty Numbers" in The Mathematics Teacher, Vol. 73, n. 9, dicembre 1980.

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