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Vicini a interi (numeri)

Rappresentazione dei numeri  Vari 

Esistono numeri reali arbitrariamente vicini a interi; in alcuni casi possono essere espressi in termini di costanti note o funzioni elementari.

Non sono solo semplici curiosità: per alcuni la loro “vicinanza” a un intero deriva da proprietà profonde, come nel caso della costante di Ramanujan.

 

Riporto alcuni tra i numerosissimi esempi, in ordine di “vicinanza” crescente:

  • log2 + log102 ≈ 0.9941771762 (D. Davis)

  • π3 ≈ 31.0062766803;

  • eπ – π ≈ 19.9990999792;

  • Numero reale vicino a un intero (D. Terr, 2004);

  • Numero reale vicino a un intero (Eric W. Weisstein, 2005);

  • Numero reale vicino a un intero (D. Ehlke, 2005);

  • Numero reale vicino a un intero, dove C è la costante di Catalan;

  • logK – loglogK ≈ 1.0000744262, dove K è la costante di Khinchin (M. Hudson, 2004);

  • Numero reale vicino a un intero (M. Hudson, 2004);

  • Numero reale vicino a un intero;

  • e6 – π4 – π5 ≈ 0.0000176735;

  • sin(11) ≈ –0.9999902066;

  • Numero reale vicino a un intero (J. DePompeo, 2004);

  • Numero reale vicino a un intero;

  • 22π4 ≈ 2143.0000027481 (Ramanujan);

  • Numero reale vicino a un intero (M. Kobayashi, 2004);

  • Numero reale vicino a un intero;

  • Numero reale vicino a un intero;

  • 88log89 ≈ 395.0000005364;

  • 510log107 ≈ 431.0000004073;

  • Numero reale vicino a un intero, dove D è il numero di Dottie (L.A. Broukhis);

  • Numero reale vicino a un intero (S.M. Edde, 2007).

  • Numero reale vicino a un intero;

  • 272logπ97 ≈ 1087.0000002050;

  • Numero reale vicino a un intero (Ramanujan);

  • Numero reale vicino a un intero (E. Pegg. Jr., 2002);

  • Numero reale vicino a un intero, dove D è il numero di Dottie (K. Hammond);

  • Numero reale vicino a un intero, dove D è il numero di Dottie;

  • Numero reale vicino a un intero (Povolotsky, 2008);

  • Numero reale vicino a un intero (M. Stay, 2009);

  • coslog(π + 20) ≈ –0.999999999243680 (scoperta quasi simultaneamente nel 1988 da Conway, Sloane e Plouffe);

  • Numero reale vicino a un intero (E. Stoschek);

  • Numero reale vicino a un intero;

  • Numero reale vicino a un intero (S. Plouffe);

  • Numero reale vicino a un intero;

  • Costante di Ramanujan (v. costante di Ramanujan);

  • Numero reale vicino a un intero (Le Lionnais, 1983);

  • Numero reale vicino a un intero;

  • Numero reale vicino a un intero (J.M. Borwein e P.B. Borwein, 1992);

  • Numero reale vicino a un intero (J.M. Borwein e P.B. Borwein, 1992).

  • (per finire in bellezza) Numero reale vicino a un intero; la serie converge a un numero irrazionale, ma dà circa mezzo miliardo di cifre decimali corrette.

 

Un interessante caso che viene dalla geometria è illustrato nella figura.

Figura con una lunghezza reale, vicina a un intero

Con le lunghezze dei lati dei triangoli indicate, il segmento d è lungo Lunghezza di d; la differenza rispetto a una lunghezza intera non sarebbe visibili nel più preciso dei disegni (Ed Pegg Jr.).

 

E’ chiaro che partendo dalle approssimazioni razionali o dagli sviluppi in serie delle costanti più conosciute si possono trovare infiniti casi e altri esempi vengono dalle potenze dei numeri di Pisot – Vijayaraghavan e dalle potenze di numeri vicini a zero. Grazie ai calcolatori inoltre è possibile esaminare un gran numero di espressioni più o meno complicate, alla ricerca di altri esempi; l’eleganza di una formula sta nell’economia di costanti e operatori impiegati, rispetto alla precisione raggiunta e sotto questo aspetto la costante di Ramanujan mi sembra insuperabile.

 

Vi sono anche casi curiosi di matematici tratti in inganno dall’apparente identità di due risultati; per esempio, A.P. Prudnikov, Yu.A. Brychkov, e O.I. Marichev ritennero erroneamente d’aver identificato il valore del prodotto infinito Prodotto infinito convergente come Valore supposto del prodotto infinito; la piccola differenza tra i due valori ci porta quindi un altro esempio: Numero reale vicino a un intero.

Vedi anche

Numeri Schizofrenici.

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