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Armonici (numeri) (II)

Teoria dei numeri 

Si chiamano talvolta “numeri armonici”, detti anche “numeri di Ore”, dal nome del matematico norvegese Øystein Ore (Oslo, 7/10/1899 – Oslo, 13/8/1968) che li definì nel 1948, gli interi per i quali la media armonica dei divisori è un intero.

La media armonica dei divisori di n è Formula per la media armonica dei divisori.

 

Tutti i numeri perfetti sono armonici, tuttavia esistono infiniti pseudoperfetti che non sono armonici.

 

Tutti i numeri armonici, tranne 6, sono multipli di un quadrato.

Il minimo multiplo di un cubo è 270.

 

Carl Pomerance dimostrò che se un numero armonico ha solo due fattori primi distinti, è perfetto e pari.

 

Se n e np1p2 ... pm sono armonici, con i vari pk primi distinti in ordine crescente, np1 è armonico, tranne se p1p2 = 6, nel qual caso 6n è armonico (R.M. Sorli, 2003).

 

Se n è armonico non divisibile per un primo p e k > 1, npk è armonico se e solo se σ(pk) divide  (R.M. Sorli, 2003).

 

Per ogni k fissato, solo un numero finito di interi ha k come media armonica dei divisori (Kanold, 1957); in particolare non esistono interi con media armonica uguale a: 4, 12, 16, 18, 20, 22, 23, 28, 30, 32, 33, 34, 36, 38, 40, 43, 52, 55, 56, 57, 58, 59, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 71, 72, 76, 79, 90, 93, 95, 98.

Qui trovate la lista dei primi 405 numeri che non sono media armonica dei divisori di alcun intero (T. Goto e S. Shibata, 2004).

 

Non esistono numeri armonici minori di 1015 che siano potenti o deficienti (R.M. Sorli, 2003).

 

L’esistenza di numeri armonici dispari è un problema analogo all’esistenza di numeri perfetti dispari; Ore ha congetturato che tutti i numeri armonici siano pari, a parte 1 (v. congettura di Ore); questo implicherebbe in particolare la non esistenza di numeri perfetti dispari.

Se un esiste numero armonico dispari n:

  • deve essere della forma 4m + 1;

  • deve essere maggiore di 1024 (Graeme L. Cohen e Ronald M. Sorli, 2010);

  • deve avere almeno tre fattori primi distinti (Carl Pomerance);

  • deve avere un fattore che è una potenza di un primo maggiore di 107 (W.H. Mills);

  • se divisibile per una potenza di un primo pk, tale potenza deve avere la forma 4m + 1;

  • Limite inferiore per la media armonica dei divisori di un numero armonico dispari(T. Goto e K. Okeya).

 

Non è noto se esistano infiniti numeri armonici. Sono stati trovati tutti i 937 minori di 1014 (Takeshi Goto e K. Okeya) e tutti i numeri armonici tali che la media armonica dei divisori non superi 300; la tabella seguente mostra quelli inferiori a 106.

n

Scomposizione

d(n)

σ(n)

Media armonica dei divisori

1

1

1

1

1

6

2 • 3

4

12

2

28

22 • 7

6

56

3

140

22 • 5 • 7

12

36

5

270

2 • 33 • 5

16

720

6

496

22 • 31

10

992

5

672

25 • 3 • 7

24

2016

8

1638

2 • 32 • 7 • 13

24

4368

9

2970

2 • 33 • 5 • 11

32

8640

11

6200

23 • 52 • 31

24

14880

10

8128

26 • 127

14

16256

7

8190

2 • 32 • 5 • 7 • 13

48

26208

15

18600

23 • 3 • 52 • 31

48

59520

15

18620

22 • 5 • 72 • 19

36

47880

14

27846

2 • 32 • 7 • 13 • 17

48

78624

17

30240

25 • 32 • 5 • 7

96

120960

24

32760

23 • 32 • 5 • 7 • 13

96

131040

24

55860

22 • 3 • 5 • 72 • 19

72

191520

21

105664

26 • 13 • 127

28

227584

13

117800

23 • 52 • 19 • 31

48

297600

19

167400

23 • 33 • 52 • 31

96

595200

27

173600

25 • 52 • 7 • 31

72

499968

25

237510

2 • 32 • 5 • 7 • 13 • 29

96

786240

29

242060

22 • 5 • 72 • 13 • 19

72

670320

26

332640

25 • 33 • 5 • 7 • 11

192

1451520

44

360360

23 • 32 • 5 • 7 • 11 • 13

192

1572480

44

539400

23 • 3 • 52 • 29 • 31

96

1785600

29

695520

25 • 33 • 5 • 7 • 23

192

2903040

46

726180

22 • 3 • 5 • 72 • 13 • 19

144

2681280

39

753480

23 • 32 • 5 • 7 • 13 • 23

192

3144960

46

950976

26 • 32 • 13 • 127

84

2958592

27

 

Tabelle numeriche

Numeri armonici inferiori a 109.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Kanold, H.J.;  "Über das harmonische Mittel der Teiler einer naturlichen Zahl" in Math. Ann., n. 133, 1957.
  • Sorli, Ronald M.;  Algorithms in the Study of Multiperfect and Odd Perfect Numbers, Sydney, tesi di laurea presso University of Technology, 2003.

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