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Shapiro (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Shapiro, noti anche come “polinomi di Golay – Shapiro” o “polinomi di Rabin – Shapiro”, furono studiati per la prima volta da Harold Seymour Shapiro nella sua tesi nel 1951; trovarono quindi applicazione nel calcolo di somme di funzioni trigonometriche.

 

Sono due sequenze di polinomi, la sequenza principale Pn(x) e la sequenza complementare Qn(x), definite simultaneamente tramite le ricorrenze: P0(x) = Q0(x) = 1, Pn + 1(x) = Pn(x) + x2nQn(x), Qn + 1(x) = Pn(x) – x2nQn(x).

 

I polinomi Pn(x) e Qn(x) sono polinomi di grado 2n – 1, con tutti i coefficienti uguali a 1 e –1 e termini di tutti i gradi, dal grado massimo al grado zero, sono quindi polinomi di Littlewood. Il termine di grado zero è 1 per tutti i polinomi.

Il coefficiente del termine di grado n in un polinomio Pm(x), per n < 2m, è il termine an della sequenza di Golay – Rudin – Shapiro, che è 1 se il numero di coppie di 1 consecutivi nella rappresentazione binaria di n è pari, –1 altrimenti.

 

La proprietà più interessante di questi polinomi è che, per z complesso e |z| = 1, |Pn(z)| ≤ sqrt(2).

 

Altre proprietà:

Valore di Pn(1);

Valore di Pn(–1) per n pari e Pn(–1) = 0 per n dispari, ossia Valore di Pn(–1);

Qn(z) = (–1)^n * z^(2^n – 1) *Pn(–1 / z);

Pn + 1(z) = Pn(z2) + zPn(–z2);

Qn + 1(z) = Qn(z2) + zQn(–z2);

Pn + k + 1(z) = Pk(z)Pn(z2k + 1) + z2kQk(z)Pn(–z2k + 1);

|Pn(z)|2 + |Qn(z)|2 = 2n + 1, per z complesso e |z| = 1;

Pn(z) * Pn(1 / z) + Qn(z) * Qn(1 / z) = 2^(n + 1);

Integrale che coinvolge i polinomi di Shapiro, per m intero e maggiore di 0.

 

Se per n fissato scriviamo i polinomi delle due sequenze come Rappresentazione dei polinomi di Shapiro Pn(x) e Rappresentazione dei polinomi di Shapiro Qn(x), ossia chiamiamo pk e qk i coefficienti dei termini di grado k rispettivamente di Pn(z) e Qn(z), e definiamo Formula per la definizione di Ap(m) e Formula per la definizione di Aq(m), allora Ap(0) + Aq(0) ≠ 0 e Ap(m) + Aq(m) = 0 per 0 < m < 2n. Inoltre vale Somma che coinvolge i coefficienti dei polinomi di Shapiro).

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Shapiro Pn(x).

 

Grafico dei primi polinomi di Shapiro Pn(x)

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi di Shapiro Qn(x).

 

Grafico dei primi polinomi di Shapiro Qn(x)

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Shapiro Pn(x).

n

Pn(x)

0

1

1

x + 1

2

x3 + x2 + x + 1

3

x7x6 + x5 + x4x3 + x2 + x + 1

4

x15 + x14x13x12x11 + x10 + x9 + x8 + x7x6 + x5 + x4x3 + x2 + x + 1

5

x31x30 + x29 + x28 + x27x26x25x24 + x23x22 + x21 + x20x19 + x18 + x17 + x16x15 + x14x13x12x11 + x10 + x9 + x8 + x7x6 + x5 + x4x3 + x2 + x + 1

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi di Shapiro Qn(x).

n

Qn(x)

0

1

1

x + 1

2

x3x2 + x + 1

3

x7 + x6x5x4x3 + x2 + x + 1

4

x15x14 + x13 + x12 + x11x10x9x8 + x7x6 + x5 + x4x3 + x2 + x + 1

5

x31 + x30x29x28x27 + x26 + x25 + x24x23 + x22x21x20 + x19x18x17x16x15 + x14x13x12x11 + x10 + x9 + x8 + x7x6 + x5 + x4x3 + x2 + x + 1

 

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