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Sinuosi (numeri)

Matematica combinatoria 

L’n-esimo numero sinuoso sn è il numero di modi topologicamente distinti nei quali due curve aperte infinite, ciascuna delle quali non interseca se stessa, possono intersecarsi n volte; per semplicità una delle due curve è solitamente rappresentata con una retta. Può essere interpretato come il numero di modi di tracciare una strada che attraversi n volte un fiume.

La figura seguente mostra le configurazioni possibili per n da 0 a 3.

Raffigurazione dei modi di incrociare le curve per n fino a 4

 

Si considera che al di fuori della regione degli incroci le due curve siano sempre nello stesso ordine dall’alto in basso, quindi negli esempi la curva è sempre al di sopra della retta all’estremità sinistra, pertanto le due configurazioni con 3 incroci si considerano distinte, anche se coinciderebbero ruotandone una di 180° o riflettendola rispetto all’asse orizzontale.

Un percorso e la sua riflessione speculare rispetto a un’asse perpendicolare alla strada, come i due ultimi esempi della figura, si considerano distinti.

 

Non si conosce una formula semplice per calcolare i numeri sinuosi.

 

Il numero sinuoso sn è anche il numero di modi di piegare su se stessa una striscia di n francobolli, riducendola a un pacchetto di francobolli sovrapposti.

 

I numeri sinuosi crescono come Formula per la crescita asintotica dei numeri sinuosi, dove C è una costante e R è nota come “costante connettiva”. Si congettura che l’esponente sia Valore supposto per l'esponente (P. Di Francesco, O. Golinelli e E. Guitter, 2000).

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione di α.

 

Le configurazioni sono classificabili in varie categorie:

  • indico con sn le configurazioni con n incroci, considerando equivalenti quelle che differiscono solo per una riflessione rispetto all’asse verticale, per n pari, o rispetto all’asse verticale od orizzontale, per n dispari;

  • indico con sn le configurazioni con n incroci, che rimangono invariate se ruotate di 180° (di conseguenza sn è zero per n pari).

Tra i numeri di queste categorie valgono le relazioni:

  • Relazione tra categorie di numeri sinuosi, per n pari;

  • Relazione tra categorie di numeri sinuosi, per n dispari.

 

La tabella seguente mostra i primi numeri sinuosi sn, sn e sn (Iwan Jensen, Stéphane Legendre, R. Li, J. Sawada, N.J.A. Sloane e Jon Wild, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

sn

sn

sn

0

1

1

0

1

1

1

1

2

1

1

0

3

2

1

1

4

3

2

0

5

8

3

2

6

14

8

0

7

42

13

5

8

81

42

0

9

262

72

13

10

538

273

0

11

1828

475

36

12

3926

1970

0

13

13820

3506

102

14

30694

15368

0

15

110954

27888

299

16

252939

126510

0

17

933458

233809

889

18

2172830

1086546

0

19

8152860

2039564

2698

20

19304190

9652364

0

21

73424650

18360296

8267

22

176343390

88172609

0

23

678390116

169610371

25684

24

1649008456

824506191

0

25

6405031050

1601297937

80349

26

15730575554

7865294687

0

27

61606881612

15401847339

253872

28

152663683494

76331857094

0

29

602188541928

150547538649

806334

30

1503962954930

751981532942

0

31

5969806669034

1492452957398

2580279

32

15012865733351

7506432993145

0

33

59923200729046

14980804327584

8290645

34

151622652413194

75811326673326

0

35

608188709574124

152047190790814

26794566

36

1547365078534578

773682540353704

0

37

6234277838531806

1558569503073541

86881179

38

15939972379349178

7969986193751019

0

39

64477712119584604

16119428171413211

283034120

40

165597452660771610

82798726340037900

0

41

672265814872772972

168066454180454102

924521718

42

1733609081727968492

866804540900696571

0

43

7060941974458061392

1765235495130283117

3031535538

44

?

 

0

45

74661728661167809752

18665432170273350215

9962795554

46

?

 

 

47

794337831754564188184

 

 

 

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