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Vampiri (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Nel 1994 Clifford A. Pickover battezzò “vampiri” i numeri naturali formati da 2n cifre, ottenuti come prodotto di due numeri di n cifre e scritti con le stesse cifre dei due numeri.

Per esempio, 1260 = 21 • 60 e 516879 = 681 • 759.

Sono esclusi i numeri ottenuti semplicemente aggiungendo uno zero a ciascuno dei due termini del prodotto che genera un vampiro, quindi, per esempio, 126000 = 210 • 600 non è considerato un vampiro.

 

Gli appassionati del settore chiamano “zanne” i due numeri, che però nel seguito preferisco chiamare “generatori”.

 

Se v = xy è un numero vampiro con x e y come generatori, xyx + y mod 9 (Pete Hartley); questo permette di restringere la ricerca di numeri vampiri alle combinazioni di numeri x e y tali che valga una delle condizioni seguenti:

  • x ≡ 0 mod 9 e y ≡ 0 mod 9,

  • x ≡ 2 mod 9 e y ≡ 2 mod 9,

  • x ≡ 3 mod 9 e y ≡ 6 mod 9,

  • x ≡ 5 mod 9 e y ≡ 8 mod 9,

  • x ≡ 6 mod 9 e y ≡ 3 mod 9,

  • x ≡ 8 mod 9 e y ≡ 5 mod 9.

 

I numeri vampiri di 4 cifre sono:

  • 1260 = 21 • 60,

  • 1395 = 15 • 93,

  • 1435 = 35 • 41,

  • 1530 = 30 • 51,

  • 1827 = 21 • 87,

  • 2187 = 27 • 81,

  • 6880 = 80 • 86.

 

Alcuni vampiri possono essere ottenuti in più modi.

I numeri vampiri fino a 8 cifre ottenibili da esattamente due diverse coppie di generatori sono:

  • 125460 = 204 • 615 = 246 • 510,

  • 11930170 = 1301 • 9170 = 1310 • 9107,

  • 12054060 = 2004 • 6015 = 2406 • 5010,

  • 12417993 = 1317 • 9429 = 1347 • 9219,

  • 12600324 = 2031 • 6204 = 3102 • 4062,

  • 12827650 = 1826 • 7025 = 2075 • 6182,

  • 13002462 = 2031 • 6402 = 3201 • 4062,

  • 22569480 = 2649 • 8520 = 4260 • 5298,

  • 23287176 = 2673 • 8712 = 3267 • 7128,

  • 26198073 = 2673 • 9801 = 3267 • 8019,

  • 26373600 = 3600 • 7326 = 3663 • 7200,

  • 26839800 = 2886 • 9300 = 3900 • 6882,

  • 46847920 = 4760 • 9842 = 6290 • 7448,

  • 61360780 = 7130 • 8606 = 7613 • 8060.

 

I numeri vampiri fino a 12 cifre ottenibili da esattamente tre diverse coppie di generatori sono:

  • 13078260 = 1620 • 8073 = 1863 • 7020 = 2070 • 6318,

  • 107650322640 = 140532 • 766020 = 153204 • 702660 = 200760 • 536214,

  • 113024597400 = 125100 • 903474 = 152100 • 743094 = 257400 • 439101,

  • 119634515208 = 195351 • 612408 = 234156 • 510918 = 285513 • 419016,

  • 134549287600 = 138650 • 970424 = 145700 • 923468 = 182900 • 735644,

  • 135173486250 = 164175 • 823350 = 328350 • 411675 = 361185 • 374250,

  • 138130447950 = 140415 • 983730 = 308913 • 447150 = 330891 • 417450,

  • 146083269717 = 167409 • 872613 = 204687 • 713691 = 237897 • 614061,

  • 150967233648 = 163548 • 923076 = 327096 • 461538 = 367983 • 410256,

  • 216315684000 = 316251 • 684000 = 351000 • 616284 = 421668 • 513000,

  • 221089445500 = 225500 • 980441 = 440198 • 502250 = 441980 • 500225,

  • 315987404670 = 348705 • 906174 = 446859 • 707130 = 453087 • 697410,

  • 463997983680 = 469938 • 987360 = 478380 • 969936 = 493680 • 939876,

  • 472812953760 = 629370 • 751248 = 657342 • 719280 = 671328 • 704295.

 

I numeri vampiri fino a 14 cifre ottenibili da esattamente quattro diverse coppie di generatori sono:

  • 16758243290880 = 1982736 • 8452080 = 2123856 • 7890480 = 2751840 • 6089832 = 2817360 • 5948208

  • 18762456533040 = 2558061 • 7334640 = 3261060 • 5753484 = 3587166 • 5230440 = 3637260 • 5158404

  • 24959017348650 = 2947050 • 8469153 = 2949705 • 8461530 = 4125870 • 6049395 = 4129587 • 6043950 = 4230765 · 5899410

 

L’unico numero vampiro fino a 14 cifre ottenibili da esattamente cinque diverse coppie di generatori è 24959017348650 = 2947050 • 8469153 = 2949705 • 8461530 = 4125870 • 6049395 = 4129587 • 6043950 = 4230765 • 5899410 (J.K. Andersen, 2003).

 

Non sembra esserci limite al numero di modi: J.K. Andersen trovò l’esempio di 70 cifre 1067781345046160692992979584215948335363056972783128881420721375504640 con 1000025 differenti coppie di generatori.

 

La tabella seguente riporta il numero di vampiri di n cifre ottenibili in almeno k modi diversi (Jens Kruse Andersen).

n \ k

1

2

3

4

5

4

7

-

-

-

-

6

148

1

-

-

-

8

3228

14

1

-

-

10

108577

172

-

-

-

12

4290670

2998

13

-

-

14

208423682

72630

140

3

1

 

Il fatto che siano infiniti deriva dall’esistenza di semplici formule per alcuni vampiri di forma particolare:

  • se x = 25 • 10n + 1 e y = 4(10n + 1 + 52), con n > 0, xy = 102n + 3 + 524 • 10n + 208 è un vampiro di 2n + 4 cifre (F.W. Roush e D.G. Rogers, 1998); per esempio, per n = 3 otteniamo 25001 • 40208 = 1005240208;

  • se x = 92 • 1022n – 6 + 1 e Formula per y, con n > 0, xy è un vampiro di 44n – 8 cifre (F.W. Roush e D.G. Rogers, 1998); per esempio, per n = 1 otteniamo 920000000000000001 • 108695652173913075 = 100000000000000029108695652173913075;

  • se x = 3 • 10n e y = 5 • 10n + 1, con n > 0, xy = 15 • 102n + 3 • 10n è un vampiro di 2n + 2 cifre; per esempio, per n = 3 otteniamo 3000 • 5001 = 15003000.

 

Sono anche sicuramente infiniti i vampiri ottenibili in 2 modi diversi, perché Jens Kruse Andersen trovò la formula 12 • 102n + 54 • 10n + 60 = (2 • 10n + 4)(6 • 10n + 15) = (24 • 10n – 1 + 6)(5 • 10n + 10). Per esempio, per n = 3 abbiamo 12054060 = 2004 • 6015 = 2406 • 5010.

 

Nel 1995 Pickover trovò un esempio di 20 cifre: 11311432469283552606 = 1234554321 • 9162361086 e diede inizio la caccia a vampiri di grandi dimensioni, escludendo quelli ricavabili con le formule citate. Riporto alcuni dei record ottenuti:

9754610597412176879952378996998032848382 = 98765432198765432198 • 98765432198798290709 (40 cifre, John Childs, 1995);

975461057985063395621761422270982300972358792664184513916185 = 987654321098765576932096123487 • 987654321098765432110091621255 (60 cifre, Paul Batyushkov, 1999);

98765430979439207522649183967093846153556319442527268359317291816109486890517399 = 9999999876543219876543219876543219876543 • 9876543219876543219876543210000011652393 (80 cifre, 1996);

9754610579850632525872580399376009754616397617223948488986906097184011734546933285857249127286116990 = 98765432109876543210987654321098765432108990776898 • 98765432109876543210987654321098765432109967196255 (100 cifre, Myles Hilliard, 1999);

136242330485085481333829672961915079779044719226189793047447511417227604352971045756500121592455568696034308584282306029896118120136400563728318931544299780671576766818872355433295 = 317654321098765432109876543210987654321098765432109876543210987654321098765432109876725511 • 428901234567890123456789012345678901234567890123456789012345678901234567890123456789012345 (180 cifre, 2002).

 

Questi numeri però svaniscono al confronto del record di Jens Kruse Andersen (2002) di 10060 cifre: n • (n + 12958410996), dove n = (9514736028)503 ossia 503 ripetizioni della sequenza di cifre 9514736028.

Bibliografia

  • Pickover, Clifford A.;  Keys to infinity, New York, Wiley, 1995.

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