Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pseudoperfetti (numeri)

Teoria dei numeri 

Si dicono “pseudoperfetti” o talvolta “semiperfetti” gli interi uguali alla somma di alcuni dei loro divisori, incluso 1, ma escluso il numero stesso. Per esempio, 20 = 10 + 5 + 4 + 1. In altri termini, sono i numeri perfetti e i numeri abbondanti non bizzarri.

 

La somma dei divisori di un numero pseudoperfetto n che sommati danno n, divisi per n è uguale a 1 e fornisce una rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie. Per esempio, da 20 = 10 + 5 + 4 + 1 otteniamo Rappresentazione di 1 come somma di frazioni egizie.

 

Il minimo pseudoperfetto è 6, il minimo pseudoperfetto non perfetto è 12; il minimo dispari è 945.

Il minimo pseudoperfetto non multiplo di un quadrato, a parte i numeri perfetti, è 30; il minimo dispari è 2205.

Ogni numero perfetto o multiplo di un numero perfetto o pseudoperfetto è pseudoperfetto; in particolare i fattoriali e primoriali maggiori di 2 sono pseudoperfetti.

Ogni numero pratico che non sia una potenza di 2 è pseudoperfetto.

 

I numeri pseudoperfetti fino a 100 sono: 6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100.

Qui trovate i numeri pseudoperfetti fino a 106 (1.8 Mbyte).

 

Se p è un primo compreso tra 2k e 2k + 1, 2kp è abbondante primitivo e pseudoperfetto.

Se p è un primo minore di 2k + 1, 2kpn è pseudoperfetto per ogni intero n; in particolare se Mn = 2n – 1 è un numero di Mersenne, 2n – 1Mn è perfetto o pseudoperfetto.

 

Erdös dimostrò che i numeri pseudoperfetti hanno densità maggiore di zero, cioè che (asintoticamente) una frazione α degli interi è pseudoperfetta; finora però nessuno è stato in grado di determinare il valore di α; si sa che 0.23790 < α < 0.2480.

 

Nel 2012 Paul Pollack e Vladimir Shevelev dimostrarono che per ogni n abbastanza grande, esistono infiniti numeri uguali alla somma dei propri divisori, tranne n di questi.

 

Strettamente legati ai numeri pseudoperfetti sono gli interi n per i quali le somme dei loro k divisori sono 2k valori distinti, ovvero tali che due sottoinsiemi diversi (non necessariamente disgiunti) di divisori hanno somme diverse. Per esempio, 10 ha questa proprietà, perché le somme dei suoi divisori, 1, 2, 5 e 10, sono tutte distinte. Viceversa 70 non ha questa proprietà, perché tra i divisori figurano 2, 5 e 7 e 2 + 5 = 7.

Chiaramente tutti i numeri primi, le loro potenze e i semiprimi non perfetti hanno questa proprietà, ma Erdös dimostrò nel 1942 che ve ne sono infiniti altri e che hanno densità maggiore di zero.

I numeri con questa proprietà minori di 100 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 51, 52, 53, 55, 57, 58, 59, 61, 62, 64, 65, 67, 68, 69, 71, 73, 74, 75, 76, 77, 79, 81, 82, 83, 85, 86, 87, 89, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98.

Qui trovate i numeri fino a 106 tali che le somme dei loro divisori siano tutte diverse (4.7 Mbyte).

 

C. Ryavec dimostrò per tali interi σ(n) < 2n, ovvero sono deficienti. Più precisamente, se le somme di un insieme di n interi ak sono tutte diverse, Limite superiore per la somma dei reciproci dei numeri dell'insieme, dove l’uguaglianza vale solo se i vari ak sono le potenze di 2 da 1 a 2n – 1.

 

Se nessuno dei divisori di n può essere espresso come somma di altri, σ(n) < Cn, per una costante C, tuttora sconosciuta (Erdös).

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.