Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pseudovampiri (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Un numero naturale si chiama “pseudovampiro” se è il prodotto di due o più numeri formati utilizzando tutte le sue cifre. Per esempio, 126 = 6 • 21 e 1395 = 5 • 9 • 31.

Comprendono quindi tutti i numeri vampiri, ma rispetto a questi ultimi non hanno i requisiti aggiuntivi che i termini del prodotto siano due e con lo stesso numero di cifre, che dev’essere la metà del numeo di cifre del prodotto.

Analogamente ai numeri vampiri, non si considerano pseudovampiri i numeri ottenuti aggiungendo zeri a destra al prodotto e a un termine.

 

Il termine è recente, ma il concetto no: in Amusement in mathematics Henry Ernest Dudeney poneva nel 1917 un problema equivalente a determinare il massimo numero pseudovampiro pandigitale, escludendo lo zero, di 9 cifre.

 

Gli appassionati del settore chiamano “zanne” i termini del prodotto, che però nel seguito preferisco chiamare “generatori”, dato che possono anche essere 3 o più.

 

Per gli pseudovampiri vale una generalizzazione della relazione tra i generatori analoga a quella dei numeri vampiri: se i generatori sono x1, x2, … xn, Prodotto dei termini congruente alla loro somma modulo 9. Questo permette di semplificare leggermente le ricerche.

 

Qui trovate gli pseudovampiri fino 109 (M. Fiorentini, 2020) (4.8 Mbyte).

 

Gli pseudovampiri sono infiniti, perché oltre agli infiniti numeri vampiri, comprendono alcune famiglie infinite come le seguenti, per qualsiasi valore, zero incluso, di m e n (M. Fiorentini, 2020):

12(0)n6 = 6 • 2(0)n1,

15(0)n3 = 3 • 5(0)n1,

1(0)n255 = 5 • 2(0)n51,

315(0)n9 = 9 • 35(0)n1,

1(0)m25(0)n5 = 5 • 2(0)m5(0)n1,

102(0)n51 = 51 • 20(0)n1,

140(0)n35 = 35 • 40(0)n1,

2501(0)n5 = 5 • 5(0)n21,

25(0)m5(0)n10 = 5 • 5(0)m10(0)n2,

1008(0)n126 = 126 • 800(0)n1,

104(0)n26 = 26 • 40(0)n1,

105(0)n21 = 21 • 50(0)n1,

105(0)n25 = 5 • 210(0)n5,

105(0)n75 = 15 • 70(0)n5,

Una famiglia infinita si ricava da tutti gli pseudoprimi generati da un prodotto della forma k • m(0)n,1 dove k è un numero di n + 1 cifre, inserendo zeri a piacere tra m (di qualsiasi numero di cifre) e 1.

 

Se uno pseudovampiro ha due generatori con differenti numeri di cifre, se ne può ricavare un numero vampiro, aggiungendo zeri al generatore con meno cifre. Per esempio, dallo pseudovampiro 126 = 6 • 21, si ricava il numero vampiro 1260 = 21 • 60.

 

Potrebbe esserci un limite al numero di generatori, ma non è stato dimostrato:

  • il minimo pseudovampiro con 2 generatori è 126 = 6 • 21;

  • il minimo pseudovampiro con 3 generatori è 1395 = 5 • 9 • 31;

  • il minimo pseudovampiro con 4 generatori è 15975 = 5 • 5 • 9 • 71;

  • il minimo pseudovampiro con 5 generatori è 2999835 = 5 • 9 • 9 • 9 • 823;

  • il minimo pseudovampiro con 6 generatori è 118879488 = 4 • 7 • 8 • 8 • 81 • 819.

Non si conoscono pseudovampiri con più di 6 generatori; se esistono sono maggiori di 109 (M. Fiorentini, 2020).

 

Gli pseudovampiri minori di 10000 sono:

126 = 6 • 21,

153 = 3 • 51,

688 = 8 • 86,

1206 = 6 • 201,

1255 = 5 • 251,

1395 = 5 • 9 • 31 = 15 • 93,

1435 = 35 • 41,

1503 = 3 • 501,

1827 = 21 • 87,

2187 = 27 • 81,

3159 = 9 • 351,

3784 = 8 • 473.

 

Gli pseudovampiri con 3 generatori minori di 105 sono:

1395 = 5 • 9 • 31,

11439 = 9 • 31 • 41,

12768 = 8 • 21 • 76,

12798 = 2 • 79 • 81,

16368 = 8 • 31 • 66,

17346 = 6 • 7 • 413,

17892 = 9 • 28 • 71,

19845 = 5 • 49 • 81,

24768 = 4 • 72 • 86,

29184 = 4 • 8 • 912,

33579 = 7 • 9 • 533,

34992 = 9 • 9 • 432,

37668 = 6 • 73 • 86,

49896 = 6 • 84 • 99,

49968 = 8 • 9 • 694,

69984 = 9 • 9 • 864.

 

Gli pseudovampiri con 4 generatori minori di 106 sono:

15975 = 5 • 5 • 9 • 71,

116937 = 3 • 9 • 61 • 71,

179739 = 7 • 9 • 9 • 317,

198576 = 6 • 7 • 8 • 591,

259875 = 5 • 7 • 9 • 825.

 

Gli pseudovampiri con 5 generatori minori di 108 sono:

2999835 = 5 • 9 • 9 • 9 • 823,

10624896 = 6 • 6 • 8 • 92 • 401,

10628496 = 4 • 6 • 6 • 9 • 8201,

11788992 = 8 • 8 • 9 • 97 • 211,

11799837 = 3 • 7 • 7 • 81 • 991,

13797945 = 5 • 7 • 9 • 93 • 471,

14629888 = 4 • 8 • 8 • 91 • 628,

14839776 = 4 • 7 • 8 • 9 • 7361,

14959728 = 8 • 9 • 42 • 51 • 97,

15818976 = 6 • 8 • 9 • 51 • 718,

15887760 = 5 • 7 • 7 • 8 • 8106,

16384896 = 8 • 8 • 9 • 66 • 431,

16755984 = 6 • 7 • 8 • 9 • 5541,

16798848 = 6 • 8 • 41 • 88 • 97,

17568768 = 7 • 8 • 8 • 76 • 516,

17626896 = 6 • 6 • 9 • 67 • 812,

17762976 = 6 • 6 • 9 • 77 • 712,

17799642 = 7 • 7 • 9 • 42 • 961,

18649088 = 4 • 8 • 8 • 8 • 9106,

18686976 = 6 • 8 • 8 • 79 • 616,

18794592 = 4 • 8 • 9 • 9 • 7251,

18969552 = 9 • 9 • 51 • 56 • 82,

18971575 = 5 • 7 • 7 • 85 • 911,

18987696 = 6 • 7 • 8 • 69 • 819,

19586880 = 5 • 8 • 8 • 9 • 6801,

19729584 = 4 • 7 • 9 • 92 • 851,

19971684 = 4 • 9 • 9 • 81 • 761,

19999386 = 9 • 9 • 9 • 86 • 319,

21687792 = 6 • 7 • 7 • 8 • 9221,

25789680 = 7 • 8 • 9 • 85 • 602,

26798688 = 6 • 7 • 8 • 9 • 8862,

27798778 = 7 • 7 • 7 • 98 • 827,

28480896 = 6 • 8 • 9 • 82 • 804,

28975968 = 6 • 7 • 8 • 9 • 9582.

 

Gli pseudovampiri con 6 generatori minori di 109 sono:

118879488 = 4 • 7 • 8 • 8 • 81 • 819,

124878848 = 8 • 8 • 8 • 8 • 74 • 412,

128848896 = 8 • 8 • 8 • 9 • 41 • 682 = 8 • 8 • 9 • 41 • 62 • 88,

137775897 = 7 • 7 • 7 • 9 • 87 • 513,

156993795 = 5 • 7 • 9 • 9 • 9 • 6153,

197597880 = 5 • 8 • 9 • 9 • 87 • 701,

197945937 = 7 • 7 • 9 • 9 • 53 • 941,

215999784 = 7 • 9 • 9 • 9 • 52 • 814,

238629888 = 8 • 8 • 8 • 9 • 63 • 822,

289990368 = 6 • 8 • 9 • 9 • 93 • 802.

 

Un numero può essere pseudovampiro in più modi.

  • il minimo pseudovampiro ottenibile da esattamente due diversi insiemi di generatori è 1395 = 15 • 93 = 5 • 9 • 31;

  • il minimo pseudovampiro ottenibile da esattamente tre diversi insiemi di generatori è 1307826 = 162 • 8073 = 207 • 6318 = 702 • 1863;

  • il minimo pseudovampiro ottenibile da esattamente quattro diversi insiemi di generatori è 121768248 = 217 • 681 • 824 = 248 • 681 • 721 = 6 • 28 • 724811 = 6 • 721 • 28148.

Molto probabilmente esistono pseudovampiri ottenibili con qualsiasi numero di insiemi di generatori, ma crescono col numero di generatori. Se esistono pseudovampiri ottenibili con più di quattro diversi insiemi di generatori, sono maggiori di 109.

 

Qui trovate gli pseudovampiri ottenibili in più modi fino 109 (M. Fiorentini, 2020).

 

I numeri pseudovampiri fino a 106 ottenibili da esattamente due diversi insiemi di generatori sono:

1395 = 15 • 93 = 5 • 9 • 31,

105264 = 204 • 516 = 51 • 2064,

116928 = 9 • 16 • 812 = 96 • 1218,

119682 = 2 • 61 • 981 = 9 • 61 • 218,

192375 = 3 • 9 • 7125 = 9 • 21375,

258795 = 27 • 9585 = 9 • 28755,

263736 = 36 • 7326 = 72 • 3663,

268398 = 39 • 6882 = 93 • 2886,

289674 = 42 • 6897 = 6 • 48279.

 

I numeri pseudovampiri fino a 108 ottenibili da esattamente tre diversi insiemi di generatori sono:

1307826 = 162 • 8073 = 207 • 6318 = 702 • 1863,

2669436 = 42 • 66 • 963 = 6 • 462 • 963 = 6 • 642 • 693,

11827296 = 18 • 72 • 9126 = 6 • 9 • 27 • 8112 = 972 • 12168,

13029565 = 2159 • 6035 = 5 • 2605913 = 635 • 20519,

13875624 = 6 • 84 • 27531 = 7 • 38 • 52164 = 7 • 46 • 81 • 532,

15266272 = 2261 • 6752 = 272 • 56126 = 56 • 272612,

17988432 = 21 • 88 • 9734 = 7 • 31 • 88 • 942 = 8 • 93 • 24178,

17988642 = 1827 • 9846 = 21 • 87 • 9846 = 7 • 29 • 88614,

59669379 = 63 • 99 • 9567 = 9 • 693 • 9567 = 9 • 9 • 736659.

 

I numeri pseudovampiri fino a 108 ottenibili da esattamente quattro diversi insiemi di generatori sono:

121768248 = 217 • 681 • 824 = 248 • 681 • 721 = 6 • 28 • 724811 = 6 • 721 • 28148,

127359648 = 32 • 459 • 8671 = 6 • 9 • 754 • 3128 = 9 • 23 • 754 • 816 = 92 • 754 • 1836,

132759648 = 4 • 56 • 729 • 813 = 9 • 24 • 756 • 813 = 9 • 54 • 273168 = 972 • 136584,

134882496 = 24 • 81 • 69384 = 28 • 63 • 81 • 944 = 42 • 81 • 39648 = 48 • 81 • 34692,

138929175 = 75 • 81 • 99 • 231 = 81 • 99 • 17325 = 9 • 75 • 231 • 891 = 9 • 891 • 17325,

145939968 = 4 • 8 • 9 • 51 • 9936 = 8 • 9 • 54 • 96 • 391 = 8 • 9 • 9 • 64 • 3519 = 9 • 48 • 96 • 3519,

164759832 = 4 • 9 • 86 • 53217 = 438 • 516 • 729 = 5913 • 27864 = 9 • 216 • 84753,

168478464 = 4 • 66 • 784 • 814 = 7 • 66 • 448 • 814 = 7 • 66 • 88 • 4144 = 7 • 88 • 444 • 616,

169857324 = 3276 • 51849 = 36 • 4718259 = 4 • 91 • 567 • 823 = 6 • 7 • 54 • 91 • 823,

172349856 = 3 • 672 • 85491 = 46 • 72 • 98 • 531 = 6 • 7 • 84 • 92 • 531 = 8 • 92 • 413 • 567,

172984896 = 4 • 6 • 9 • 98 • 8172 = 4 • 9 • 72 • 98 • 681 = 6 • 8 • 9 • 49 • 8172 = 8 • 9 • 49 • 72 • 681,

173823975 = 213 • 837 • 975 = 3 • 81 • 775 • 923 = 9 • 71 • 325 • 837 = 93 • 213 • 8775,

174809264 = 4 • 98 • 601 • 742 = 7 • 98 • 424 • 601 = 8 • 49 • 601 • 742,

175819644 = 41 • 49 • 87516 = 451 • 476 • 819 = 6 • 41 • 91 • 7854 = 9471 • 18564,

239639796 = 36 • 99 • 67239 = 6 • 6 • 93 • 99 • 723 = 9 • 36 • 739629 = 9 • 396 • 67239,

263704896 = 3276 • 80496 = 42 • 936 • 6708 = 6 • 78 • 624 • 903 = 6 • 903 • 48672,

269789184 = 4 • 68 • 991872 = 4 • 8 • 861 • 9792 = 7 • 9 • 48 • 89216 = 8 • 4879 • 6912,

319861872 = 6 • 72 • 831 • 891 = 6 • 81 • 792 • 831 = 6 • 9 • 81 • 73128 = 6 • 9 • 831 • 7128,

369805824 = 48 • 96 • 80253 = 5328 • 69408 = 8 • 9 • 64 • 80253 = 9 • 48 • 856032,

419527836 = 51 • 972 • 8463 = 6 • 93 • 751842 = 62 • 91 • 74358 = 63 • 918 • 7254.

 

Gli pseudovampiri quadrati, uguali al quadrato di un generatore, sono i numeri vampiri quadrati.

 

Il minimo pseudovampiro pandigitale senza lo zero è 123459678 = 9 • 83 • 165274.

Il massimo numero vampiro pseudovampiro di 9 cifre senza lo zero è 839542176 = 96 • 8745231.

Il minimo pseudovampiro pandigitale con lo zero è 1023495876 = 57 • 62 • 94 • 3081.

Il massimo numero vampiro pseudovampiro di 10 cifre con lo zero è 8410593762 = 9654 • 871203.

 

Qui trovate gli pseudovampiri pandigitali di 9 cifre senza lo zero (Bruno Curfs).

Qui trovate gli pseudovampiri pandigitali di 10 cifre con lo zero (Bruno Curfs).

Bibliografia

  • Dudeney, Henry Ernest;  Amusement in Mathematics, Thomas Nelson & Sons, 1917 -

    il testo è ormai introvabile, ma fortunatamente ne esiste un’edizione più recente, Dover, New York, 1958, ristampato nel 1970.

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