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Vampiri quadrati (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “vampiri quadrati” i numeri vampiri che sono il quadrato dei generatori. Si tratta quindi di quadrati di numeri naturali, che contengono due volte tutte le cifre della base.

Se v = x2 è un numero vampiro quadrato con x come generatore, x2 ≡ 2x mod 9 (Pete Hartley); questo permette di restringere la ricerca di numeri vampiri quadrati ai numeri x tali che x ≡ 0 mod 9 o x ≡ 2 mod 9.

 

Se la base del quadrato è un numero primo, il numero è anche un vampiro primo. I minimi vampiri primi quadrati sono (Jens Kruse Andersen, J.C. Colin e Sudipta Das):

2459319153459529 = 495915232,

2512099504480801 = 501208492,

3395758728913321 = 582731392,

3893627338729969 = 623989372,

5129508768706921 = 716205892,

8186379410403769 = 904786132,

170147428389340249 = 4124893072,

189598345243224241 = 4354289212,

271971550510512889 = 5215089172,

334573968623758249 = 5784236932,

571691675535320209 = 7561029532,

577337986280725609 = 7598276032,

842769461809107121 = 9180247612,

918564378413675449 = 9584176432,

968781726110944201 = 9842671012.

 

Jens Kruse Andersen trovò formule con le quali si possono generare infiniti esempi:

  • 9004540020079200492025 • 102n + 189784509590 • 10n + 1 = (94892254795 • 10n + 1)2;

  • 123900480025 • 102n + 199579053030 • 10n + 80370549009 = (351995 • 10n + 283497)2, per n > 11;

  • 356200080625 • 102n + 3580950 • 10n + 9 = (596825 • 10n + 3)2;

 

Andersen scoprì che la prima formula produce numeri primi per n = 41, 65, 75, 257, 633, 730, 4755, 4780, 16868, 45418 e 103294, la seconda per n = 409, 1629, 1893, 4335*, 8217* e 12173* e la terza per n = 16, 103, 260, 280, 361, 1297, 1771*, 2240*, 3338*, 3354* (l’asterisco indica i primi probabili), quindi questi numeri sono vampiri sia primi che quadrati. Potrebbero esserci altri casi per valori di n compresi tra gli ultimi due.

 

Andersen dimostrò che non esistono numeri vampiri di ordine 3, 4, 5, 6, 7 e 9, ossia numeri n tali che nk sia formato da k copie delle cifre di n, per k uguale a 3, 4, 5, 6, 7 o 9.

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