Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Le funzioni Pk(z) sono definite in modo analogo alla funzione P(z), ma sommando sui reciproci dei numeri naturali appartenenti all’insieme Sk dei numeri con esattamente k fattori primi, non necessariamente distinti: Formula per la definizione della funzione Pk(z).

 

Queste funzioni possono essere calcolate a partire dai valori di P(s) tramite la formula Formula per il calcolo della funzione Pk(z) (Richard J. Mathar, 2009); in particolare:

  • Formula per il calcolo della funzione P2(z);

  • Formula per il calcolo della funzione P3(z);

  • Formula per il calcolo della funzione P4(z).

 

Alcune proprietà delle funzioni:

Formula per il calcolo della funzione Pk(z), con P1(s) = P(s) e P0(s) = 1 (Richard J. Mathar, 2009);

Formula per il calcolo della funzione Pk(z) (Richard J. Mathar, 2011);

Formula per una somma di valori della funzione Pk(z) e in particolare Formula per una somma di valori della funzione Pk(z);

Formula che coinvolge una somma di valori della funzione Pk(z);

Formula che coinvolge una somma di valori della funzione Pk(z);

Formula per l'integrale della funzione Pk(z).

 

La figura mostra una parte del grafico delle prime funzioni Pk(x) per k da 1 a 5.

 

Grafico delle funzioni Pk(x), per k da 1 a 5

 

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati della funzione Pk(n) per n da 2 a 8 e k da 2 a 6 (Richard J. Mathar, 2009).

n

P2(n)

2

0.1407604343490233882227509254138772537749192760048802639241489

3

0.02380603347277195967869595585283620062893217848034845684562765

4

0.004994674468637339635276874049579289322502057848230867728509096

5

0.001136012424856354766515556190735772665693748056026108556151424

6

0.0002687071675614096324217387396140875535798787447125719642936101

7

0.00006493314175691145578854061507836714519989975167152833237216508

8

0.00001588851988525958888572372095351879234527858971327233300748108

n

P3(n)

2

0.03851619298269464091283792262806039543890016747838157193719155

3

0.003049362082334312946748098847079302999848694548619577993637287

4

0.0003144274968329417421821246641907192073071706953574340102524412

5

0.00003557725337068269111888017622799305930206716602282958084700573

6

0.000004201275533960671214387834295923202794959720951879928447823823

7

0.0000005073887994515979227127878654920650441797124899213497891489656

8

0.00000006206813624161469945551964458392656691354524774013736254471908

n

P4(n)

2

0.01000943620148325082041084351808525466652473851036634849174401

3

0.0003839045346157269074628008425162843300890790106333110559279434

4

0.00001967963362818191467940855961573410955099879950428233958199339

5

0.000001112105498394147042065416843932409614810339288829649464410277

6

0.00000006564866966272364593992630942917565336419279606893244510336952

7

0.000000003964020093813893558567748245375642870705531500802782383854435

8

0.0000000002424542067198129719213221460827573885198415530509018971808441

n

P5(n)

2

0.002545076168069302058221776985605516223099431333404435645812102

3

0.00004808940110832567973019045453666287670709263774628437825310148

4

0.000001230321747728495443208363890849979176133316153001252000782537

5

0.00000003475459860092756789327837058184938607371038782365590655202548

6

0.000000001025765593034930528602801778254441805529589443170682127946500

7

0.00000000003096892760390829520074774635913281487435638340106655991757766

8

0.0000000000009470868287557099531707292414885674011014480791459591532172493

n

P6(n)

2

0.0006410338528642807128627067320846767912178898525413482485882042

3

0.000006014928780179108948186295382866155223857573977633433216567001

4

0.00000007689936414615761724089452218863183766130186637100554867671046

5

0.000000001086086563383684175516301346294503063069865950783005109331817

6

0.00000000001602759442759730816486790711011122437362717548888087849039669

7

0.0000000000002419447563344257658856721989501609732074582033968956770368419

8

0.000000000000003699557937592796079194223671580493130944594965925089150589532

Qui trovate le prime 102 cifre decimali di P2(2) (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali di P3(2) (Richard J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati della derivata della funzione Pk(n) per n da 2 a 8 e k da 2 a 6 (Richard J. Mathar, 2009).

n

P2(n)

2

–0.2836068154079806522242582225482783360793505782378140134111118

3

–0.03880586902399322336692460182658731189674126497852135409952156

4

–0.007545896694085315206907970667196350193021639416359677908501448

5

–0.001655293105240617640761013220868097514629396965866818280047120

6

–0.0003839769424635045625755371800119456139211625839983225237893684

7

–0.00009174798062469143952346462602570231884264128810420282594760147

8

–0.00002229703572181493732352240313021672944986858675507693036222976

n

P3(n)

2

–0.1092764452688696718233957044460372231874277602428901489109438

3

–0.007176813165338438143871896571868137568859537620262992178861887

4

–0.0006957183997016348677998754615917611673908374611362524278817441

5

–0.00007659277012695409306374743110808079101898869002639397513312088

6

–0.000008918921902960271370285096859450098504725826286458231248526033

7

–0.000001068734610688718635883673494132633669094248021103907624353475

8

–0.0000001301295684059645175221229018448850667367013695078510484904330

n

P4(n)

2

–0.3603726094351798848506626656181111241130836664796955962932855

3

–0.001174116309572987946977816010618872204640816441822335628644463

4

–0.00005722998858912958006017304600902369401289250874897789676420392

5

–0.000003165566369796062449665250347230914962435474993776593819875806

6

–0.0000001848763022618552000611470797190861080535660685413458944944226

7

–0.00000001109730619419583432307793855949753251494307851245851961690094

8

–0.0000000006763771157059229099811578675678873194164157816965106106489574

n

P5(n)

2

–0.01102162098505070183104131920053734921658299916521679210977474

3

–0.0001806134929387963117989216971707723297041186986588483316621559

4

–0.000004431364427680593899920896902337095946811075675701701222137028

5

–0.0000001230203263758791942696292884312459227227740434277696211594902

6

–0.000000003599723532708191784184538837522982283120808246510836532161742

7

–0.0000000001081638288290161011509961768322567652158899297605137495433586

8

–0.000000000003298569076163768263274720121521048493116765743835081292530352

n

P6(n)

2

–0.003232720312150523118304098243969541303542841741356062914953186

3

–0.00002676915386444316803744871335276940423982308402686133969144141

4

–0.0000003302884682590606781698851083367477685502328729832308044821381

5

–0.000000004597234953883457819527050674957592810761129310502451413327254

6

–0.00000000006735520381085029586780892400600876281099743200915951990514023

7

–0.000000000001012733294209721415331392073627541785560477001434410873508589

8

–0.00000000000001544937368294918275696159095802943943066554391662366563388540

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati di Somma sui numeri m con esattamente k fattori primi di 1 / (m – 1)^n per n da 2 a 6 e k da 1 a 5 (Richard J. Mathar, 2009).

n

Somma sui numeri m primi di 1 / (m – 1)^n

2

1.37506499474863528791725313052243969917959996017531745870918933

3

1.14752909775858004693328380628213040164476473552511225527582412

4

1.06736011227157169811527402065258703893525859304550836811508241

5

1.03237100597834196585177592063868294503482496931776985434695475

6

1.01589201139972411006675918457325510103473578053731168636932226

n

Somma sui numeri m con esattamente 2 fattori primi di 1 / (m – 1)^n

2

0.209788323940019492755368602469189236268613932921851343752817089

3

0.0497610511326665981875950866377952405841340774755637814783395177

4

0.0144251867050125347206321771385325774655732916871746611337540069

5

0.00448814553317860895890452521422141457224197062051853943952316742

6

0.00144181860839192758202651548654521805154418089925454726071029138

n

Somma sui numeri m con esattamente 3 fattori primi di 1 / (m – 1)^n

2

0.0457250649473356179509462896789867962239663545084304304104898823

3

0.00425728972912996225107947200519463804614525467386937187206041965

4

0.000511594573334901127268316650383244703997517641565236190813247750

5

0.0000670525710706644570099917906002173405129522585443401784675937527

6

0.00000913523107817850408748985104163510342741650140340861620051453925

n

Somma sui numeri m con esattamente 4 fattori primi di 1 / (m – 1)^n

2

0.0108410864467466394130511466215222764287414954775183405819497437

3

0.000450337561601661496970504401383245773976032018827147548523156327

4

0.0000248732308184070333068620411510121468878257641611466236659372052

5

0.00000150947118336184838341631597141043715807449152523875014126944996

6

0.0000000954942045591842308217096235482438389525995484180595401298115858

n

Somma sui numeri m con esattamente 5 fattori primi di 1 / (m – 1)^n

2

0.00264509027543661792197346769155986673457680151009439096206096105

3

0.0000519996368729267202444682115275828429696087549531802544406653646

4

0.00000138025203867843406309850933144822342517665004454740887033517806

5

0.0000000403832718324949534495289315322822843326177902298377065444183828

6

0.00000000123322395562635072773966382461892764518565670709235951708582994

 

La tabella seguente riporta i valori approssimati di Somma sui numeri n con esattamente k fattori primi di 1 / (n * (n – 1)) per k da 1 a 25 (Richard J. Mathar, 2009).

k

Somma sui numeri n con esattamente k fattori primi di 1 / (n * (n – 1))

1

0.77315666904979512786436745985594239561874133608318604831100606

2

0.17105189297999663662220256437237421399124661203550059749107997070046992972848127

3

0.041920339281764199227805032233471158322784525420828606710238790

4

0.010414202346301156141109353888171559234184072973208943335673068

5

0.0025944317032356863609340108179412019910406474149863463566912649

6

0.00064712678336846601104554817217635310331423959328614964903156640

7

0.00016154547889045106884023528793253084539703632404976961733195128

8

0.000040350403394466614988860237144035458196679194641891917284153345

9

0.000010082343610557897391498490786448232831594447756388459395195738

10

0.0000025198413274347214707213045392269003455525827323722877742607328

11

0.00000062985737261498933173999701960384580565617680181013417876197437

12

0.00000015745036385232517679881727385782020683287536986374137174089714

13

0.000000039360719611599520681959076312200454332371020210585755644656168

14

0.0000000098399321710455906992308452734477378441132531283484928659273734

15

0.0000000024599505388932024146078978227171922132133360668716211893213680

16

0.00000000061498340075560680170866561648700452467948343944318880698907151

17

0.00000000015374530193448859466794967919224844842656125026606949920935630

18

0.000000000038436254839132442407411486355109175383764384816988280391113599

19

0.0000000000096090546444389183823411185748926311892868554398657649851752505

20

0.0000000000024022625018522170257126899356289067549236119426157474416944241

21

0.0000000000060056547765687746047761256134140717295823654635402409654484759

22

0.00000000000015014135061632779005230691663603510295794137329809014913244327

23

0.000000000000037535335268553839790798447165432785944777132136305316859771955

24

0.0000000000000093838335149705572793424612556180553285473359587783011738232439

25

0.0000000000000023459583405297725332944711004418618278736884444821387508950778

 

Qui trovate le prime 10001 cifre decimali di Somma su tutti i primi p di 1 / (p * (p – 1)) (Robert G. WIlson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati di Somma sui numeri m con esattamente k fattori primi di 1 / (m^n * (m – 1)) per n da 2 a 6 e k da 1 a 5 (Richard J. Mathar, 2009).

n

Somma sui primi m di 1 / (m^n * (m – 1))

2

0.32090924900872962935782409502369446144550999284329362657458713

3

0.14614660970928609293471078035798776047009787091714433668591512

4

0.069153469945039247992091484424829890308056811202301146420977111

5

0.033398452461114990859273241885974179176359534475649814730884436

6

0.016328365610478477905139568619914779966773592601105569997721067

n

Somma sui numeri m con esattamente 2 fattori primi di 1 / (m^n * (m – 1))

2

0.030291458630973248399451638958496960216327336030620333566930993

3

0.0064854251582012887207556831056607595873951575502718767213033361

4

0.0014907506895639490854788090560814702648930997020410089927942399

5

0.00035473826470759431896325286534569759919935164601490043664281503

6

0.000086031097146184686541514125731610045619472901302328472349204898

n

Somma sui numeri m con esattamente 3 fattori primi di 1 / (m^n * (m – 1))

2

0.0034041462990695583149671096054107628838843579424470347730472318

3

0.00035478421673524536821901075833145988403566339382745677940994463

4

0.000040356719902303626036886094140740676728492698470022769157503418

5

0.0000047794665316209349180059179127476174264255324471931883104976848

6

0.00000057819099766026370361808361682441463146581149531325986267386085

n

Somma sui numeri m con esattamente 4 fattori primi di 1 / (m^n * (m – 1))

2

0.00040476614481790532069851037008630456765933446284259484392905784

3

0.000020861610202178413235709527570020237570255452209283788001114446

4

0.0000011819765739964985563009679542861280192566527050014484191210481

5

0.000000069871075602351514235551110353718404446313416171798954710770233

6

0.0000000042224059396278682956248009245427510821206201028665096074007060

n

Somma sui numeri m con esattamente 5 fattori primi di 1 / (m^n * (m – 1))

2

0.0000493555351663843027122338323356857679412160815819107108791629

3

0.0000012661340580586229820433777990228912341234438356263326260613819

4

0.000000035812310330127538835013908172912057990127682625080625278844028

5

0.0000000010577117291999709417355375910626719164172948014247187268185467

6

0.000000000031946136165040413132735812808230110887705358254036598872046674

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati di Somma sui numeri m con esattamente k fattori primi di log(m – 1) /  (m – 1)^n per n da 2 a 6 e k da 1 a 5 (Richard J. Mathar, 2009).

n

Somma sui numeri m primi di log(m – 1) /  (m – 1)^n

2

1.37506499474863528791725313052243969917959996017531745870918933

3

1.14752909775858004693328380628213040164476473552511225527582412

4

1.06736011227157169811527402065258703893525859304550836811508241

5

1.03237100597834196585177592063868294503482496931776985434695475

6

1.01589201139972411006675918457325510103473578053731168636932226

n

Somma sui numeri m con esattamente 2 fattori primi di log(m – 1) /  (m – 1)^n

2

0.209788323940019492755368602469189236268613932921851343752817089

3

0.0497610511326665981875950866377952405841340774755637814783395177

4

0.0144251867050125347206321771385325774655732916871746611337540069

5

0.00448814553317860895890452521422141457224197062051853943952316742

6

0.00144181860839192758202651548654521805154418089925454726071029138

n

Somma sui numeri m con esattamente 3 fattori primi di log(m – 1) /  (m – 1)^n

2

0.0457250649473356179509462896789867962239663545084304304104898823

3

0.00425728972912996225107947200519463804614525467386937187206041965

4

0.000511594573334901127268316650383244703997517641565236190813247750

5

0.0000670525710706644570099917906002173405129522585443401784675937527

6

0.00000913523107817850408748985104163510342741650140340861620051453925

n

Somma sui numeri m con esattamente 4 fattori primi di log(m – 1) /  (m – 1)^n

2

0.0108410864467466394130511466215222764287414954775183405819497437

3

0.000450337561601661496970504401383245773976032018827147548523156327

4

0.0000248732308184070333068620411510121468878257641611466236659372052

5

0.00000150947118336184838341631597141043715807449152523875014126944996

6

0.0000000954942045591842308217096235482438389525995484180595401298115858

n

Somma sui numeri m con esattamente 5 fattori primi di log(m – 1) /  (m – 1)^n

2

0.00264509027543661792197346769155986673457680151009439096206096105

3

0.0000519996368729267202444682115275828429696087549531802544406653646

4

0.00000138025203867843406309850933144822342517665004454740887033517806

5

0.0000000403832718324949534495289315322822843326177902298377065444183828

6

0.00000000123322395562635072773966382461892764518565670709235951708582994

 

Le tabelle seguenti riportano i valori approssimati di Somma sui numeri m con esattamente k fattori primi di 1 / m + (1 – 1 / m)^n * log(1 – 1 / m) per n da 1 a 4 e k da 1 a 3 (Richard J. Mathar, 2009).

n

Somma sui numeri m primi di 1 / m + (1 – 1 / m)^n * log(1 – 1 / m)

1

0.26434004176002164673174824590306461492528050270047150992644

2

0.61210909600861648810973500903074917744536817685379132220140

3

0.83162031622701364585608159976581294069621021299936900413624

4

0.97814589475979949499502571065792051537852172306539544173835

n

Somma sui numeri m con esattamente 2 fattori primi di 1 / m + (1 – 1 / m)^n * log(1 – 1 / m)

1

0.07483176753552750888163142884027057172300662738030777281173

2

0.20274600679905285623473576314229971108548607276186973818502

3

0.30956716856446670438488608714185233323846931207915051554876

4

0.39967077199200952417631057083019796152634867816759135315832

n

Somma sui numeri m con esattamente 3 fattori primi di 1 / m + (1 – 1 / m)^n * log(1 – 1 / m)

1

0.01979445800870394214182491696866714839521363828266446266352

2

0.05673037199050316150740109374211659920215472144741775457277

3

0.09078044492621127414186177360393579101033447804508695808347

4

0.12224056980762694782137972349781919346596885467095976821370

 

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