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Primi troncabili

Sono talvolta chiamati “primi troncabili” i numeri primi che rimangono tali se viene tolta la prima cifra, come 37; di solito vengono considerati troncabili anche i primi di una sola cifra.

Un primo troncabile, privato della prima cifra, può generare un altro primo troncabile; in alcuni casi si possono continuare a togliere cifre, ottenendo nuovi primi, sino a restare con una sola cifra, come nel caso di 6317: 317, 17 e 3 sono infatti primi.

Più comunemente si chiamano “primi troncabili” i numeri primi che non contengono zeri e che restano primi se ad essi vengono progressivamente tolte cifre, fino a restare con un numero primo di una sola cifra.

In base 10 vi sono in tutto 4260 primi del genere, il massimo dei quali è 357686312646216567629137 (I.O. Angell e H.J. Godwin, 1977); qualsiasi cifra aggiunta a sinistra produce un numero composto.

Kanah e Weintraub trovarono in tutto 1440 primi troncabili, ai quali non si possono aggiungere altre cifre, che chiamarono “primi di Enrico VIII”, in ricordo dell’abitudine del sovrano di decapitare le consorti; troncandoli si generano in tutto 4260 primi.

Qui trovate i primi troncabili a sinistra in base 10.

Tra questi vi sono alcuni numeri curiosi:

solo 76367 è palindromo;
ben 127, il massimo dei quali è 351275463876537547, restano primi se si inverte l’ordine delle cifre;
21, il massimo dei quali è 32184967, sono formati da cifre differenti;
57 contengono tutte le cifre, tranne naturalmente zero;
9, il massimo dei quali è 933739397, sono formati da sole cifre dispari.

In questi primi non si permette l’uso dello zero, altrimenti il loro numero diventerebbe probabilmente infinito in tutte le basi; in particolare sarebbero troncabili tutti i primi in base 2. L’unica eccezione è in base 2, per la quale si ammette l’utilizzo di 10₂ = 2 e 11₂ = 3 alla fine dell’eliminazione delle cifre (ovvero senza arrivare a una singola cifra), perché altrimenti non esisterebbero primi di questa categoria.

Il concetto di primi troncabili si può generalizzare ad altre basi; la tabella seguente mostra i primi troncabili a sinistra di almeno due cifre minori di 1000 nelle basi fino a 20.

Base	Primi
2	10₂ = 2, 11₂ = 3, 111₂ = 7
3	12₃ = 5, 212₃ = 23
4	13₄ = 7, 23₄ = 11, 113₄ = 23, 223₄ = 43, 323₄ = 59, 1223₄ = 107, 2113₄ = 151, 3323₄ = 251, 21223₄ = 619, 32113₄ = 919
5	12₅ = 7, 23₅ = 13, 32₅ = 17, 43₅ = 23, 232₅ = 67, 243₅ = 73, 412₅ = 107, 423₅ = 113, 2232₅ = 317, 4412₅ = 607, 4423₅ = 613
6	15₆ = 11, 25₆ = 17, 35₆ = 23, 45₆ = 29, 115₆ = 47, 125₆ = 53, 135₆ = 59, 215₆ = 83, 225₆ = 89, 245₆ = 101, 335₆ = 131, 345₆ = 137, 435₆ = 167, 445₆ = 173, 515₆ = 191, 525₆ = 197, 1115₆ = 263, 1125₆ = 269, 1245₆ = 317, 1335₆ = 347, 1345₆ = 353, 1435₆ = 383, 1445₆ = 389, 2115₆ = 479, 2135₆ = 491, 2225₆ = 521, 2335₆ = 563, 2345₆ = 569, 2435₆ = 599, 3125₆ = 701, 3445₆ = 821, 3515₆ = 839, 4115₆ = 911, 4215₆ = 947, 4225₆ = 953
7	23₇ = 17, 25₇ = 19, 32₇ = 23, 43₇ = 31, 52₇ = 37, 65₇ = 47, 443₇ = 227, 452₇ = 233, 623₇ = 311, 625₇ = 313, 632₇ = 317, 652₇ = 331, 2452₇ = 919, 2623₇ = 997
8	13₈ = 11, 15₈ = 13, 23₈ = 19, 27₈ = 23, 35₈ = 29, 37₈ = 31, 45₈ = 37, 53₈ = 43, 57₈ = 47, 65₈ = 53, 73₈ = 59, 75₈ = 61, 123₈ = 83, 145₈ = 101, 153₈ = 107, 213₈ = 139, 227₈ = 151, 235₈ = 157, 265₈ = 181, 323₈ = 211, 337₈ = 223, 345₈ = 229, 357₈ = 239, 373₈ = 251, 415₈ = 269, 445₈ = 293, 475₈ = 317, 513₈ = 331, 535₈ = 349, 557₈ = 367, 565₈ = 373, 573₈ = 379, 615₈ = 397, 645₈ = 421, 657₈ = 431, 673₈ = 443, 715₈ = 461, 723₈ = 467, 737₈ = 479, 753₈ = 491, 775₈ = 509, 1145₈ = 613, 1153₈ = 619, 1357₈ = 751, 1475₈ = 829, 1737₈ = 991
9	12₉ = 11, 25₉ = 23, 32₉ = 29, 45₉ = 41, 47₉ = 43, 52₉ = 47, 65₉ = 59, 67₉ = 61, 87₉ = 79, 212₉ = 173, 232₉ = 191, 267₉ = 223, 287₉ = 241, 425₉ = 347, 432₉ = 353, 447₉ = 367, 465₉ = 383, 625₉ = 509, 667₉ = 547, 812₉ = 659, 832₉ = 677, 847₉ = 691, 867₉ = 709, 887₉ = 727
10	13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, 137, 167, 173, 197, 223, 283, 313, 317, 337, 347, 353, 367, 373, 383, 397, 443, 467, 523, 547, 613, 617, 643, 647, 653, 673, 683, 743, 773, 797, 823, 853, 883, 937, 947, 953, 967, 983, 997
11	12₁₁ = 13, 27₁₁ = 29, 43₁₁ = 47, 65₁₁ = 71, 67₁₁ = 73, 72₁₁ = 79, 92₁₁ = 101, A3₁₁ = 113, 227₁₁ = 271, 265₁₁ = 313, 467₁₁ = 557, 472₁₁ = 563, 612₁₁ = 739, 643₁₁ = 773, 665₁₁ = 797, 692₁₁ = 827, 6A3₁₁ = 839, 827₁₁ = 997
12	15₁₂ = 17, 17₁₂ = 19, 1B₁₂ = 23, 25₁₂ = 29, 27₁₂ = 31, 35₁₂ = 41, 37₁₂ = 43, 3B₁₂ = 47, 45₁₂ = 53, 4B₁₂ = 59, 57₁₂ = 67, 5B₁₂ = 71, 67₁₂ = 79, 6B₁₂ = 83, 75₁₂ = 89, 85₁₂ = 101, 87₁₂ = 103, 8B₁₂ = 107, 95₁₂ = 113, A7₁₂ = 127, AB₁₂ = 131, B5₁₂ = 137, B7₁₂ = 139, 117₁₂ = 163, 11B₁₂ = 167, 125₁₂ = 173, 13B₁₂ = 191, 145₁₂ = 197, 157₁₂ = 211, 167₁₂ = 223, 16B₁₂ = 227, 175₁₂ = 233, 18B₁₂ = 251, 195₁₂ = 257, 1A7₁₂ = 271, 1B5₁₂ = 281, 1B7₁₂ = 283, 217₁₂ = 307, 21B₁₂ = 311, 225₁₂ = 317, 237₁₂ = 331, 24B₁₂ = 347, 25B₁₂ = 359, 267₁₂ = 367, 285₁₂ = 389, 295₁₂ = 401, 2AB₁₂ = 419, 315₁₂ = 449, 325₁₂ = 461, 327₁₂ = 463, 33B₁₂ = 479, 34B₁₂ = 491, 357₁₂ = 499, 35B₁₂ = 503, 375₁₂ = 521, 3AB₁₂ = 563, 3B5₁₂ = 569, 3B7₁₂ = 571, 415₁₂ = 593, 41B₁₂ = 599, 427₁₂ = 607, 435₁₂ = 617, 437₁₂ = 619, 457₁₂ = 643, 45B₁₂ = 647, 46B₁₂ = 659, 485₁₂ = 677, 48B₁₂ = 683, 517₁₂ = 739, 51B₁₂ = 743, 527₁₂ = 751, 535₁₂ = 761, 545₁₂ = 773, 557₁₂ = 787, 575₁₂ = 809, 585₁₂ = 821, 587₁₂ = 823, 58B₁₂ = 827, 5B5₁₂ = 857, 5B7₁₂ = 859, 615₁₂ = 881, 617₁₂ = 883, 61B₁₂ = 887, 637₁₂ = 907, 63B₁₂ = 911, 66B₁₂ = 947, 675₁₂ = 953, 687₁₂ = 967, 68B₁₂ = 971, 695₁₂ = 977, 6A7₁₂ = 991
13	23₁₃ = 29, 25₁₃ = 31, 2B₁₃ = 37, 32₁₃ = 41, 47₁₃ = 59, 52₁₃ = 67, 65₁₃ = 83, 6B₁₃ = 89, 83₁₃ = 107, 85₁₃ = 109, A7₁₃ = 137, C7₁₃ = 163, CB₁₃ = 167, 223₁₃ = 367, 232₁₃ = 379, 247₁₃ = 397, 265₁₃ = 421, 452₁₃ = 743, 4C7₁₃ = 839
14	13₁₄ = 17, 15₁₄ = 19, 23₁₄ = 31, 2D₁₄ = 41, 35₁₄ = 47, 3B₁₄ = 53, 43₁₄ = 59, 45₁₄ = 61, 4B₁₄ = 67, 53₁₄ = 73, 5D₁₄ = 83, 65₁₄ = 89, 6D₁₄ = 97, 73₁₄ = 101, 75₁₄ = 103, 7B₁₄ = 109, 95₁₄ = 131, 9B₁₄ = 137, 9D₁₄ = 139, AB₁₄ = 151, B3₁₄ = 157, BD₁₄ = 167, C5₁₄ = 173, CB₁₄ = 179, CD₁₄ = 181, DB₁₄ = 193, 123₁₄ = 227, 145₁₄ = 257, 14B₁₄ = 263, 153₁₄ = 269, 16D₁₄ = 293, 1AB₁₄ = 347, 1B3₁₄ = 353, 1DB₁₄ = 389, 213₁₄ = 409, 22D₁₄ = 433, 235₁₄ = 439, 295₁₄ = 523, 2CB₁₄ = 571, 315₁₄ = 607, 323₁₄ = 619, 33B₁₄ = 641, 343₁₄ = 647, 353₁₄ = 661, 365₁₄ = 677, 375₁₄ = 691, 395₁₄ = 719, 39D₁₄ = 727, 3AB₁₄ = 739, 3C5₁₄ = 761, 3CD₁₄ = 769, 453₁₄ = 857, 46D₁₄ = 881, 475₁₄ = 887, 4B3₁₄ = 941, 4DB₁₄ = 977, 513₁₄ = 997
15	12₁₅ = 17, 27₁₅ = 37, 2B₁₅ = 41, 2D₁₅ = 43, 32₁₅ = 47, 47₁₅ = 67, 4B₁₅ = 71, 4D₁₅ = 73, 67₁₅ = 97, 6B₁₅ = 101, 6D₁₅ = 103, 72₁₅ = 107, 87₁₅ = 127, 8B₁₅ = 131, 92₁₅ = 137, A7₁₅ = 157, AD₁₅ = 163, B2₁₅ = 167, CB₁₅ = 191, CD₁₅ = 193, D2₁₅ = 197, ED₁₅ = 223, 212₁₅ = 467, 227₁₅ = 487, 22B₁₅ = 491, 24B₁₅ = 521, 24D₁₅ = 523, 267₁₅ = 547, 272₁₅ = 557, 287₁₅ = 577, 292₁₅ = 587, 2A7₁₅ = 607, 2AD₁₅ = 613, 2B2₁₅ = 617, 2CB₁₅ = 641, 2CD₁₅ = 643, 2D2₁₅ = 647, 2ED₁₅ = 673, 427₁₅ = 937, 42B₁₅ = 941, 432₁₅ = 947, 447₁₅ = 967, 44B₁₅ = 971, 467₁₅ = 997
16	13₁₆ = 19, 17₁₆ = 23, 1D₁₆ = 29, 25₁₆ = 37, 2B₁₆ = 43, 35₁₆ = 53, 3B₁₆ = 59, 3D₁₆ = 61, 43₁₆ = 67, 47₁₆ = 71, 53₁₆ = 83, 65₁₆ = 101, 67₁₆ = 103, 6B₁₆ = 107, 6D₁₆ = 109, 83₁₆ = 131, 8B₁₆ = 139, 95₁₆ = 149, 97₁₆ = 151, 9D₁₆ = 157, A3₁₆ = 163, A7₁₆ = 167, AD₁₆ = 173, B3₁₆ = 179, B5₁₆ = 181, C5₁₆ = 197, C7₁₆ = 199, D3₁₆ = 211, E3₁₆ = 227, E5₁₆ = 229, FB₁₆ = 251, 125₁₆ = 293, 13D₁₆ = 317, 167₁₆ = 359, 1A3₁₆ = 419, 1D3₁₆ = 467, 21D₁₆ = 541, 23B₁₆ = 571, 265₁₆ = 613, 26B₁₆ = 619, 283₁₆ = 643, 295₁₆ = 661, 2B3₁₆ = 691, 2C5₁₆ = 709, 2E3₁₆ = 739, 313₁₆ = 787, 31D₁₆ = 797, 32B₁₆ = 811, 335₁₆ = 821, 33B₁₆ = 827, 33D₁₆ = 829, 347₁₆ = 839, 36D₁₆ = 877, 38B₁₆ = 907, 397₁₆ = 919, 3AD₁₆ = 941, 3B3₁₆ = 947, 3C7₁₆ = 967, 3E5₁₆ = 997
17	12₁₇ = 19, 23₁₇ = 37, 27₁₇ = 41, 2D₁₇ = 47, 32₁₇ = 53, 43₁₇ = 71, 45₁₇ = 73, 4B₁₇ = 79, 65₁₇ = 107, 67₁₇ = 109, 6B₁₇ = 113, 83₁₇ = 139, 8D₁₇ = 149, A3₁₇ = 173, AB₁₇ = 181, C7₁₇ = 211, D2₁₇ = 223, E3₁₇ = 241, ED₁₇ = 251, F2₁₇ = 257, G5₁₇ = 277, GB₁₇ = 283, 227₁₇ = 619, 232₁₇ = 631, 26B₁₇ = 691, 28D₁₇ = 727, 2A3₁₇ = 751, 2ED₁₇ = 829
18	15₁₈ = 23, 1B₁₈ = 29, 1D₁₈ = 31, 25₁₈ = 41, 27₁₈ = 43, 2B₁₈ = 47, 2H₁₈ = 53, 35₁₈ = 59, 37₁₈ = 61, 3D₁₈ = 67, 3H₁₈ = 71, 47₁₈ = 79, 4B₁₈ = 83, 4H₁₈ = 89, 57₁₈ = 97, 5B₁₈ = 101, 5D₁₈ = 103, 5H₁₈ = 107, 65₁₈ = 113, 75₁₈ = 131, 7B₁₈ = 137, 7D₁₈ = 139, 85₁₈ = 149, 87₁₈ = 151, 8D₁₈ = 157, 95₁₈ = 167, 9B₁₈ = 173, 9H₁₈ = 179, AB₁₈ = 191, AD₁₈ = 193, AH₁₈ = 197, BD₁₈ = 211, C7₁₈ = 223, CB₁₈ = 227, CD₁₈ = 229, CH₁₈ = 233, D5₁₈ = 239, D7₁₈ = 241, DH₁₈ = 251, E5₁₈ = 257, EB₁₈ = 263, EH₁₈ = 269, F7₁₈ = 277, FB₁₈ = 281, FD₁₈ = 283, G5₁₈ = 293, H5₁₈ = 311, H7₁₈ = 313, HB₁₈ = 317, 115₁₈ = 347, 11B₁₈ = 353, 127₁₈ = 367, 135₁₈ = 383, 157₁₈ = 421, 15H₁₈ = 431, 17B₁₈ = 461, 17D₁₈ = 463, 195₁₈ = 491, 19H₁₈ = 503, 1AH₁₈ = 521, 1C7₁₈ = 547, 1CH₁₈ = 557, 1D5₁₈ = 563, 1EB₁₈ = 587, 1EH₁₈ = 593, 1F7₁₈ = 601, 1FD₁₈ = 607, 1G5₁₈ = 617, 1HB₁₈ = 641, 21B₁₈ = 677, 227₁₈ = 691, 22H₁₈ = 701, 237₁₈ = 709, 23H₁₈ = 719, 247₁₈ = 727, 25D₁₈ = 751, 265₁₈ = 761, 27D₁₈ = 787, 285₁₈ = 797, 29B₁₈ = 821, 29H₁₈ = 827, 2AB₁₈ = 839, 2BD₁₈ = 859, 2CD₁₈ = 877, 2CH₁₈ = 881, 2D5₁₈ = 887, 2EB₁₈ = 911, 2FB₁₈ = 929, 2G5₁₈ = 941
19	23₁₉ = 41, 25₁₉ = 43, 32₁₉ = 59, 43₁₉ = 79, 47₁₉ = 83, 4D₁₉ = 89, 52₁₉ = 97, 6D₁₉ = 127, 6H₁₉ = 131, 85₁₉ = 157, 8B₁₉ = 163, 92₁₉ = 173, A3₁₉ = 193, A7₁₉ = 197, B2₁₉ = 211, C5₁₉ = 233, CB₁₉ = 239, CD₁₉ = 241, E3₁₉ = 269, E5₁₉ = 271, EB₁₉ = 277, EH₁₉ = 283, G3₁₉ = 307, G7₁₉ = 311, GD₁₉ = 317, I5₁₉ = 347, I7₁₉ = 349, IB₁₉ = 353, IH₁₉ = 359, 24D₁₉ = 811, 26H₁₉ = 853, 2A7₁₉ = 919, 2E3₁₉ = 991
20	13₂₀ = 23, 1B₂₀ = 31, 1H₂₀ = 37, 23₂₀ = 43, 27₂₀ = 47, 2D₂₀ = 53, 2J₂₀ = 59, 37₂₀ = 67, 3B₂₀ = 71, 3D₂₀ = 73, 3J₂₀ = 79, 43₂₀ = 83, 4H₂₀ = 97, 53₂₀ = 103, 57₂₀ = 107, 5D₂₀ = 113, 67₂₀ = 127, 6B₂₀ = 131, 6H₂₀ = 137, 6J₂₀ = 139, 7B₂₀ = 151, 7H₂₀ = 157, 83₂₀ = 163, 87₂₀ = 167, 8D₂₀ = 173, 8J₂₀ = 179, 9B₂₀ = 191, 9D₂₀ = 193, 9H₂₀ = 197, 9J₂₀ = 199, AB₂₀ = 211, B3₂₀ = 223, B7₂₀ = 227, BD₂₀ = 233, BJ₂₀ = 239, CB₂₀ = 251, CH₂₀ = 257, D3₂₀ = 263, DB₂₀ = 271, DH₂₀ = 277, E3₂₀ = 283, ED₂₀ = 293, F7₂₀ = 307, FB₂₀ = 311, FD₂₀ = 313, FH₂₀ = 317, GB₂₀ = 331, GH₂₀ = 337, H7₂₀ = 347, HD₂₀ = 353, HJ₂₀ = 359, I7₂₀ = 367, ID₂₀ = 373, IJ₂₀ = 379, J3₂₀ = 383, JH₂₀ = 397, 11B₂₀ = 431, 123₂₀ = 443, 137₂₀ = 467, 13J₂₀ = 479, 153₂₀ = 503, 17H₂₀ = 557, 183₂₀ = 563, 19D₂₀ = 593, 19J₂₀ = 599, 1DH₂₀ = 677, 1E3₂₀ = 683, 1ID₂₀ = 773, 1JH₂₀ = 797, 213₂₀ = 823, 22D₂₀ = 853, 22J₂₀ = 859, 243₂₀ = 883, 257₂₀ = 907, 26H₂₀ = 937, 287₂₀ = 967, 29B₂₀ = 991, 29H₂₀ = 997

La tabella seguente mostra il numero di primi troncabili a sinistra e il massimo primo troncabile a sinistra nelle basi fino a 20.

Base	Numero primi	Massimo primo
2	3	111₂ = 7
3	3	212₃ = 23
4	16	333323₄ = 4091
5	15	222232₅ = 7817
6	454	14141511414451435₆ = 4836525320399
7	22	6642623₇ = 817337
8	446	313636165537775₈ = 14005650767869
9	108	4284484465₉ = 1676456897
10	4260	357686312646216567629137
11	75	A68822827₁₁ = 2276005673
12	170053	471A34A164259B324AB8A32B7817₁₂ = 13092430647736190817303130065827539
13	100	CC4C8C65₁₃ = 812751503
14	34393	D967CCD63388522619883A7D23₁₄ = 615419590422100474355767356763
15	9357	6C6C2CE2CEEEA4826E642B₁₅ = 34068645705927662447286191
16	27982	DBC7FBA24FE6AEC462ABF63B3₁₆ = 1088303707153521644968345559987
17	362	6C66CC4CC83₁₇ = 13563641583101
18	14979714	AF93E41A586HE75A7HHAAB7HE12FG79992GA7741B3D₁₈ = 571933398724668544269594979167602382822769202133808087
19	685	CIEG86GCEA2C6H₁₉ = 546207129080421139
20	3062899	FC777G3CG1FIDI9I31IE5FFB379C7A3F6EFID₂₀ = 1073289911449776273800623217566610940096241078373

Da notare che un primo troncabile a sinistra può essere scritto con tutte le cifre cifre pari tranne l’ultima in base pari, come 223 o 6C6C2CE2CEEEA4826E642B₁₅, o tutte pari tranne l’ultima o la penultima in base dispari, come 212₃.

Togliendo le cifre da destra, una alla volta si ottiene un differente insieme di primi troncabili; vi sono in tutto 83 primi troncabili a destra in base 10 (I.O. Angell e H.J. Godwin, 1977): 2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797, 2333, 2339, 2393, 2399, 2939, 3119, 3137, 3733, 3739, 3793, 3797, 5939, 7193, 7331, 7333, 7393, 23333, 23339, 23399, 23993, 29399, 31193, 31379, 37337, 37339, 37397, 59393, 59399, 71933, 73331, 73939, 233993, 239933, 293999, 373379, 373393, 593933, 593993, 719333, 739391, 739393, 739397, 739399, 2339933, 2399333, 2939999, 3733799, 5939333, 7393913, 7393931, 7393933, 23399339, 29399999, 37337999, 59393339, 73939133.

In base 2 si ammette l’utilizzo di 10₂ = 2 e 11₂ = 3 alla fine dell'eliminazione delle cifre, perché altrimenti non esisterebbero primi di questa categoria.

La tabella seguente mostra i primi troncabili a destra di almeno due cifre minori di 1000 nelle basi fino a 20.

Base	Primi
2	11₂ = 3, 101₂ = 5, 111₂ = 7, 1011₂ = 11, 10111₂ = 23, 101111₂ = 47
3	21₃ = 7, 212₃ = 23, 2122₃ = 71
4	23₄ = 11, 31₄ = 13, 233₄ = 47, 311₄ = 53, 2333₄ = 191
5	21₅ = 11, 23₅ = 13, 32₅ = 17, 34₅ = 19, 214₅ = 59, 232₅ = 67, 324₅ = 89, 342₅ = 97, 2322₅ = 337, 3244₅ = 449, 3422₅ = 487
6	21₆ = 13, 25₆ = 17, 31₆ = 19, 35₆ = 23, 51₆ = 31, 211₆ = 79, 215₆ = 83, 251₆ = 103, 255₆ = 107, 351₆ = 139, 515₆ = 191, 2115₆ = 479, 2151₆ = 499, 2155₆ = 503, 2511₆ = 619, 2551₆ = 643, 2555₆ = 647, 3515₆ = 839
7	23₇ = 17, 25₇ = 19, 32₇ = 23, 52₇ = 37, 56₇ = 41, 254₇ = 137, 256₇ = 139, 322₇ = 163, 326₇ = 167, 524₇ = 263, 566₇ = 293, 2564₇ = 977
8	21₈ = 17, 23₈ = 19, 27₈ = 23, 35₈ = 29, 37₈ = 31, 51₈ = 41, 53₈ = 43, 57₈ = 47, 73₈ = 59, 75₈ = 61, 211₈ = 137, 213₈ = 139, 235₈ = 157, 277₈ = 191, 351₈ = 233, 357₈ = 239, 373₈ = 251, 513₈ = 331, 533₈ = 347, 535₈ = 349, 573₈ = 379, 577₈ = 383, 737₈ = 479, 753₈ = 491
9	21₉ = 19, 25₉ = 23, 32₉ = 29, 34₉ = 31, 52₉ = 47, 58₉ = 53, 74₉ = 67, 78₉ = 71, 212₉ = 173, 218₉ = 179, 254₉ = 211, 322₉ = 263, 328₉ = 269, 342₉ = 281, 344₉ = 283, 528₉ = 431, 582₉ = 479, 744₉ = 607, 782₉ = 641, 784₉ = 643, 788₉ = 647
10	23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797
11	21₁₁ = 23, 27₁₁ = 29, 29₁₁ = 31, 34₁₁ = 37, 38₁₁ = 41, 3A₁₁ = 43, 54₁₁ = 59, 56₁₁ = 61, 72₁₁ = 79, 76₁₁ = 83, 214₁₁ = 257, 21A₁₁ = 263, 296₁₁ = 347, 298₁₁ = 349, 342₁₁ = 409, 386₁₁ = 457, 38A₁₁ = 461, 3A6₁₁ = 479, 544₁₁ = 653, 54A₁₁ = 659, 562₁₁ = 673, 566₁₁ = 677, 728₁₁ = 877, 766₁₁ = 919
12	25₁₂ = 29, 27₁₂ = 31, 31₁₂ = 37, 35₁₂ = 41, 37₁₂ = 43, 3B₁₂ = 47, 51₁₂ = 61, 57₁₂ = 67, 5B₁₂ = 71, 75₁₂ = 89, B5₁₂ = 137, B7₁₂ = 139, 251₁₂ = 349, 255₁₂ = 353, 25B₁₂ = 359, 271₁₂ = 373, 277₁₂ = 379, 27B₁₂ = 383, 315₁₂ = 449, 357₁₂ = 499, 35B₁₂ = 503, 375₁₂ = 521, 377₁₂ = 523, 3B5₁₂ = 569, 3B7₁₂ = 571, 511₁₂ = 733, 517₁₂ = 739, 51B₁₂ = 743, 575₁₂ = 809, 577₁₂ = 811, 5B1₁₂ = 853, 5B5₁₂ = 857, 5B7₁₂ = 859, 5BB₁₂ = 863
13	23₁₃ = 29, 25₁₃ = 31, 2B₁₃ = 37, 32₁₃ = 41, 34₁₃ = 43, 38₁₃ = 47, 52₁₃ = 67, 56₁₃ = 71, 58₁₃ = 73, 76₁₃ = 97, 7A₁₃ = 101, 7C₁₃ = 103, B6₁₃ = 149, B8₁₃ = 151, 232₁₃ = 379, 236₁₃ = 383, 23C₁₃ = 389, 256₁₃ = 409, 2B6₁₃ = 487, 2BA₁₃ = 491, 328₁₃ = 541, 344₁₃ = 563, 34A₁₃ = 569, 34C₁₃ = 571, 382₁₃ = 613, 386₁₃ = 617, 388₁₃ = 619, 526₁₃ = 877, 52A₁₃ = 881, 52C₁₃ = 883, 566₁₃ = 929, 584₁₃ = 953
14	21₁₄ = 29, 23₁₄ = 31, 29₁₄ = 37, 2D₁₄ = 41, 31₁₄ = 43, 35₁₄ = 47, 3B₁₄ = 53, 51₁₄ = 71, 53₁₄ = 73, 59₁₄ = 79, 5D₁₄ = 83, 73₁₄ = 101, 75₁₄ = 103, 79₁₄ = 107, 7B₁₄ = 109, B3₁₄ = 157, B9₁₄ = 163, BD₁₄ = 167, D9₁₄ = 191, DB₁₄ = 193, 213₁₄ = 409, 21D₁₄ = 419, 235₁₄ = 439, 239₁₄ = 443, 293₁₄ = 521, 295₁₄ = 523, 2D3₁₄ = 577, 2DD₁₄ = 587, 315₁₄ = 607, 31B₁₄ = 613, 351₁₄ = 659, 353₁₄ = 661, 3B1₁₄ = 743, 3B9₁₄ = 751, 513₁₄ = 997
15	21₁₅ = 31, 27₁₅ = 37, 2B₁₅ = 41, 2D₁₅ = 43, 32₁₅ = 47, 38₁₅ = 53, 3E₁₅ = 59, 54₁₅ = 79, 58₁₅ = 83, 5E₁₅ = 89, 72₁₅ = 107, 74₁₅ = 109, 78₁₅ = 113, B2₁₅ = 167, B8₁₅ = 173, BE₁₅ = 179, D2₁₅ = 197, D4₁₅ = 199, 212₁₅ = 467, 21E₁₅ = 479, 272₁₅ = 557, 278₁₅ = 563, 27E₁₅ = 569, 2B2₁₅ = 617, 2B4₁₅ = 619, 2D2₁₅ = 647, 2D8₁₅ = 653, 2DE₁₅ = 659, 324₁₅ = 709, 32E₁₅ = 719, 382₁₅ = 797, 38E₁₅ = 809, 3E2₁₅ = 887
16	25₁₆ = 37, 29₁₆ = 41, 2B₁₆ = 43, 2F₁₆ = 47, 35₁₆ = 53, 3B₁₆ = 59, 3D₁₆ = 61, 53₁₆ = 83, 59₁₆ = 89, 71₁₆ = 113, 7F₁₆ = 127, B3₁₆ = 179, B5₁₆ = 181, BF₁₆ = 191, D3₁₆ = 211, DF₁₆ = 223, 251₁₆ = 593, 257₁₆ = 599, 259₁₆ = 601, 25F₁₆ = 607, 293₁₆ = 659, 295₁₆ = 661, 2B3₁₆ = 691, 2BD₁₆ = 701, 2F5₁₆ = 757, 2F9₁₆ = 761, 355₁₆ = 853, 359₁₆ = 857, 35B₁₆ = 859, 35F₁₆ = 863, 3B3₁₆ = 947, 3B9₁₆ = 953, 3D1₁₆ = 977, 3D7₁₆ = 983, 3DF₁₆ = 991
17	23₁₇ = 37, 27₁₇ = 41, 29₁₇ = 43, 2D₁₇ = 47, 32₁₇ = 53, 38₁₇ = 59, 3A₁₇ = 61, 3G₁₇ = 67, 54₁₇ = 89, 5C₁₇ = 97, 5G₁₇ = 101, 78₁₇ = 127, 7C₁₇ = 131, B4₁₇ = 191, B6₁₇ = 193, BA₁₇ = 197, BC₁₇ = 199, D2₁₇ = 223, D6₁₇ = 227, D8₁₇ = 229, DC₁₇ = 233, 232₁₇ = 631, 23C₁₇ = 641, 23E₁₇ = 643, 274₁₇ = 701, 27C₁₇ = 709, 292₁₇ = 733, 298₁₇ = 739, 29C₁₇ = 743, 2DA₁₇ = 809, 2DC₁₇ = 811, 326₁₇ = 907, 32A₁₇ = 911
18	21₁₈ = 37, 25₁₈ = 41, 27₁₈ = 43, 2B₁₈ = 47, 2H₁₈ = 53, 35₁₈ = 59, 37₁₈ = 61, 3D₁₈ = 67, 3H₁₈ = 71, 57₁₈ = 97, 5B₁₈ = 101, 5D₁₈ = 103, 5H₁₈ = 107, 71₁₈ = 127, 75₁₈ = 131, 7B₁₈ = 137, 7D₁₈ = 139, B1₁₈ = 199, BD₁₈ = 211, D5₁₈ = 239, D7₁₈ = 241, DH₁₈ = 251, H1₁₈ = 307, H5₁₈ = 311, H7₁₈ = 313, HB₁₈ = 317, 217₁₈ = 673, 21B₁₈ = 677, 21H₁₈ = 683, 251₁₈ = 739, 255₁₈ = 743, 25D₁₈ = 751, 27D₁₈ = 787, 2B7₁₈ = 853, 2BB₁₈ = 857, 2BD₁₈ = 859, 2BH₁₈ = 863, 2HD₁₈ = 967, 2HH₁₈ = 971
19	23₁₉ = 41, 25₁₉ = 43, 29₁₉ = 47, 2F₁₉ = 53, 32₁₉ = 59, 34₁₉ = 61, 3A₁₉ = 67, 3E₁₉ = 71, 3G₁₉ = 73, 52₁₉ = 97, 56₁₉ = 101, 58₁₉ = 103, 5C₁₉ = 107, 5E₁₉ = 109, 5I₁₉ = 113, 74₁₉ = 137, 76₁₉ = 139, 7G₁₉ = 149, 7I₁₉ = 151, B2₁₉ = 211, BE₁₉ = 223, BI₁₉ = 227, D4₁₉ = 251, DA₁₉ = 257, DG₁₉ = 263, H8₁₉ = 331, HE₁₉ = 337, 238₁₉ = 787, 23I₁₉ = 797, 254₁₉ = 821, 256₁₉ = 823, 25A₁₉ = 827, 25C₁₉ = 829, 29E₁₉ = 907, 29I₁₉ = 911
20	21₂₀ = 41, 23₂₀ = 43, 27₂₀ = 47, 2D₂₀ = 53, 2J₂₀ = 59, 31₂₀ = 61, 37₂₀ = 67, 3B₂₀ = 71, 3D₂₀ = 73, 3J₂₀ = 79, 51₂₀ = 101, 53₂₀ = 103, 57₂₀ = 107, 59₂₀ = 109, 5D₂₀ = 113, 79₂₀ = 149, 7B₂₀ = 151, 7H₂₀ = 157, B3₂₀ = 223, B7₂₀ = 227, B9₂₀ = 229, BD₂₀ = 233, BJ₂₀ = 239, D3₂₀ = 263, D9₂₀ = 269, DB₂₀ = 271, DH₂₀ = 277, H7₂₀ = 347, H9₂₀ = 349, HD₂₀ = 353, HJ₂₀ = 359, J3₂₀ = 383, J9₂₀ = 389, JH₂₀ = 397, 211₂₀ = 821, 213₂₀ = 823, 217₂₀ = 827, 219₂₀ = 829, 21J₂₀ = 839, 233₂₀ = 863, 23H₂₀ = 877, 271₂₀ = 941, 277₂₀ = 947, 27D₂₀ = 953

La tabella seguente mostra il numero di primi troncabili a destra e il massimo primo troncabile a destra nelle basi fino a 20.

Base	Numero primi	Massimo primo
2	7	101111₂ = 47
3	4	2122₃ = 71
4	7	2333₄ = 191
5	14	34222₅ = 2437
6	36	2155555₆ = 108863
7	19	25642₇ = 6841
8	68	21117717₈ = 4497359
9	68	3444224222₉ = 1355840309
10	83	73939133
11	89	29668286AA₁₁ = 6774006887
12	179	375BB5B515₁₂ = 18704078369
13	176	B6C2CA8A8A₁₃ = 122311273757
14	439	2DD35B9D399395B3D₁₄ = 6525460043032393259
15	373	72424E42EEE8E₁₅ = 927920056668659
16	414	3B9BF319BD51FF₁₆ = 16778492037124607
17	473	5G4CEE8EC688CAC86G₁₇ = 4928397730238375565449
18	839	DH17HB7BBD75BDB₁₈ = 5228233855704101657
19	1010	3EC8GI8ICIEG8C₁₉ = 3013357583408354653
20	1577	23HBH9D19HH9JDDJ9₂₀ = 1437849529085279949589

Da notare che un primo troncabile a destra può essere scritto con tutte le cifre cifre pari tranne la prima o la seconda, come B6C2CA8A8A₁₃ o 2122₃.

La tabella seguente mostra i primi troncabili sia a destra che a sinistra nelle basi fino a 20.

Base	Numero primi	Primi
2	3	10₂ = 2, 11₂ = 3, 111₂ = 7
3	2	2₃ = 2, 212₃ = 23
4	3	2₄ = 2, 3₄ = 3, 23₄ = 11
5	5	2₅ = 2, 3₅ = 3, 23₅ = 13, 32₅ = 17, 232₅ = 67
6	9	2₆ = 2, 3₆ = 3, 5₆ = 5, 25₆ = 17, 35₆ = 23, 215₆ = 83, 515₆ = 191, 2115₆ = 479, 3515₆ = 839
7	7	2₇ = 2, 3₇ = 3, 5₇ = 5, 23₇ = 17, 25₇ = 19, 32₇ = 23, 52₇ = 37
8	22	2₈ = 2, 3₈ = 3, 5₈ = 5, 7₈ = 7, 23₈ = 19, 27₈ = 23, 35₈ = 29, 37₈ = 31, 53₈ = 43, 57₈ = 47, 73₈ = 59, 75₈ = 61, 213₈ = 139, 235₈ = 157, 357₈ = 239, 373₈ = 251, 513₈ = 331, 535₈ = 349, 573₈ = 379, 737₈ = 479, 753₈ = 491, 3513₈ = 1867
9	8	2₉ = 2, 3₉ = 3, 5₉ = 5, 7₉ = 7, 25₉ = 23, 32₉ = 29, 52₉ = 47, 212₉ = 173
10	15	2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 313, 317, 373, 797, 3137, 3797, 739397
11	6	2₁₁ = 2, 3₁₁ = 3, 5₁₁ = 5, 7₁₁ = 7, 29₁₁ = 31, 72₁₁ = 79
12	35	2₁₂ = 2, 3₁₂ = 3, 5₁₂ = 5, 7₁₂ = 7, B₁₂ = 11, 25₁₂ = 29, 27₁₂ = 31, 35₁₂ = 41, 37₁₂ = 43, 3B₁₂ = 47, 57₁₂ = 67, 5B₁₂ = 71, 75₁₂ = 89, B5₁₂ = 137, B7₁₂ = 139, 25B₁₂ = 359, 315₁₂ = 449, 357₁₂ = 499, 35B₁₂ = 503, 375₁₂ = 521, 3B5₁₂ = 569, 3B7₁₂ = 571, 517₁₂ = 739, 51B₁₂ = 743, 575₁₂ = 809, 5B5₁₂ = 857, 5B7₁₂ = 859, 2557₁₂ = 4243, 35B7₁₂ = 6043, 5117₁₂ = 8803, 511B₁₂ = 8807, 51B7₁₂ = 8923, 5B1B₁₂ = 10247, 375B5₁₂ = 75161, 511B7₁₂ = 105691
13	11	2₁₃ = 2, 3₁₃ = 3, 5₁₃ = 5, 7₁₃ = 7, B₁₃ = 11, 23₁₃ = 29, 25₁₃ = 31, 2B₁₃ = 37, 32₁₃ = 41, 52₁₃ = 67, 232₁₃ = 379
14	37	2₁₄ = 2, 3₁₄ = 3, 5₁₄ = 5, 7₁₄ = 7, B₁₄ = 11, D₁₄ = 13, 23₁₄ = 31, 2D₁₄ = 41, 35₁₄ = 47, 3B₁₄ = 53, 53₁₄ = 73, 5D₁₄ = 83, 73₁₄ = 101, 75₁₄ = 103, 7B₁₄ = 109, B3₁₄ = 157, BD₁₄ = 167, DB₁₄ = 193, 213₁₄ = 409, 235₁₄ = 439, 295₁₄ = 523, 315₁₄ = 607, 353₁₄ = 661, 513₁₄ = 997, 53B₁₄ = 1033, 59B₁₄ = 1117, 79D₁₄ = 1511, B35₁₄ = 2203, B95₁₄ = 2287, B9B₁₄ = 2293, D9D₁₄ = 2687, 3153₁₄ = 8501, 539D₁₄ = 14447, 7395₁₄ = 19927, B39D₁₄ = 30911, D935₁₄ = 37483, D99B₁₄ = 37573
15	17	2₁₅ = 2, 3₁₅ = 3, 5₁₅ = 5, 7₁₅ = 7, B₁₅ = 11, D₁₅ = 13, 27₁₅ = 37, 2B₁₅ = 41, 2D₁₅ = 43, 32₁₅ = 47, 72₁₅ = 107, B2₁₅ = 167, D2₁₅ = 197, 212₁₅ = 467, 272₁₅ = 557, 2B2₁₅ = 617, 2D2₁₅ = 647
16	22	2₁₆ = 2, 3₁₆ = 3, 5₁₆ = 5, 7₁₆ = 7, B₁₆ = 11, D₁₆ = 13, 25₁₆ = 37, 2B₁₆ = 43, 35₁₆ = 53, 3B₁₆ = 59, 3D₁₆ = 61, 53₁₆ = 83, B3₁₆ = 179, B5₁₆ = 181, D3₁₆ = 211, 295₁₆ = 661, 2B3₁₆ = 691, 3B3₁₆ = 947, 595₁₆ = 1429, 713₁₆ = 1811, BFB₁₆ = 3067, D3D₁₆ = 3389
17	12	2₁₇ = 2, 3₁₇ = 3, 5₁₇ = 5, 7₁₇ = 7, B₁₇ = 11, D₁₇ = 13, 23₁₇ = 37, 27₁₇ = 41, 2D₁₇ = 47, 32₁₇ = 53, D2₁₇ = 223, 232₁₇ = 631
18	68	2₁₈ = 2, 3₁₈ = 3, 5₁₈ = 5, 7₁₈ = 7, B₁₈ = 11, D₁₈ = 13, H₁₈ = 17, 25₁₈ = 41, 27₁₈ = 43, 2B₁₈ = 47, 2H₁₈ = 53, 35₁₈ = 59, 37₁₈ = 61, 3D₁₈ = 67, 3H₁₈ = 71, 57₁₈ = 97, 5B₁₈ = 101, 5D₁₈ = 103, 5H₁₈ = 107, 75₁₈ = 131, 7B₁₈ = 137, 7D₁₈ = 139BD₁₈ = 211, D5₁₈ = 239, D7₁₈ = 241, DH₁₈ = 251, H5₁₈ = 311, H7₁₈ = 313, HB₁₈ = 317, 21B₁₈ = 677, 25D₁₈ = 751, 27D₁₈ = 787, 2BD₁₈ = 859, 357₁₈ = 1069, 375₁₈ = 1103, 37B₁₈ = 1109, 3D7₁₈ = 1213, 3DH₁₈ = 1223, 3H5₁₈ = 1283, 3HB₁₈ = 1289, 57D₁₈ = 1759, 5BD₁₈ = 1831, 5D7₁₈ = 1861, 5DH₁₈ = 1871, 5H5₁₈ = 1931, 5H7₁₈ = 1933, 71B₁₈ = 2297, 75D₁₈ = 2371, B1B₁₈ = 3593, BD5₁₈ = 3803, D7B₁₈ = 4349, DH5₁₈ = 4523, H15₁₈ = 5531, H75₁₈ = 5639, H7D₁₈ = 5647, 2BD5₁₈ = 15467, 2BH7₁₈ = 15541, 375D₁₈ = 19867, 3H15₁₈ = 23027, 5B5H₁₈ = 32831, 5DDH₁₈ = 33623, 5H7D₁₈ = 34807, 711B₁₈ = 41177, 7B1B₁₈ = 44417, B115₁₈ = 64499, H11B₁₈ = 99497, H7H5₁₈ = 101723, 5B5H5₁₈ = 590963, 5H511HB₁₈ = 202715129
19	12	2₁₉ = 2, 3₁₉ = 3, 5₁₉ = 5, 7₁₉ = 7, B₁₉ = 11, D₁₉ = 13, H₁₉ = 17, 23₁₉ = 41, 25₁₉ = 43, 32₁₉ = 59, 52₁₉ = 97, B2₁₉ = 211
20	68	2₂₀ = 2, 3₂₀ = 3, 5₂₀ = 5, 7₂₀ = 7, B₂₀ = 11, D₂₀ = 13, H₂₀ = 17, J₂₀ = 19, 23₂₀ = 43, 27₂₀ = 47, 2D₂₀ = 53, 2J₂₀ = 59, 37₂₀ = 67, 3B₂₀ = 71, 3D₂₀ = 73, 3J₂₀ = 79, 53₂₀ = 103, 57₂₀ = 107, 5D₂₀ = 113, 7B₂₀ = 151, 7H₂₀ = 157, B3₂₀ = 223, B7₂₀ = 227, BD₂₀ = 233, BJ₂₀ = 239, D3₂₀ = 263, DB₂₀ = 271, DH₂₀ = 277, H7₂₀ = 347, HD₂₀ = 353, HJ₂₀ = 359, J3₂₀ = 383, JH₂₀ = 397, 213₂₀ = 823, 2D3₂₀ = 1063, 313₂₀ = 1223, 31B₂₀ = 1231, 31H₂₀ = 1237, 3B3₂₀ = 1423, 3B7₂₀ = 1427, 3BD₂₀ = 1433, 3BJ₂₀ = 1439, 3DB₂₀ = 1471, 3J3₂₀ = 1583, 3JH₂₀ = 1597, 79J₂₀ = 2999, 7B3₂₀ = 3023, B9B₂₀ = 4591, B9H₂₀ = 4597, BD3₂₀ = 4663, BJ3₂₀ = 4783, D3D₂₀ = 5273, D3J₂₀ = 5279, D9D₂₀ = 5393, D9J₂₀ = 5399, H9B₂₀ = 6991, H9H₂₀ = 6997, J3D₂₀ = 7673, J9D₂₀ = 7793, 319D₂₀ = 24593, 3B9B₂₀ = 28591, 3B9H₂₀ = 28597, 3BD3₂₀ = 28663, 539J₂₀ = 41399, B93D₂₀ = 91673, B9B3₂₀ = 91823, J99H₂₀ = 155797, J9D3₂₀ = 155863

I primi troncabili a destra o a sinistra sono casi particolari dei primi cancellabili.

I primi troncabili a destra o a sinistra sono probabilmente in numero finito in qualsiasi base; fissata la base, è relativamente facile trovarli tutti e in tutte le basi esaminate il loro numero è finito, ma una dimostrazione generale non esiste e sembra molto difficile.

Tabelle numeriche

I primi troncabili a sinistra di almeno due cifre minori di 10⁶ nelle basi fino a 20,
I primi troncabili a destra di almeno due cifre nelle basi fino a 20.

Vedi anche

Numeri primi, Primi bi-troncabili, Primi cancellabili, Semiprimi troncabili.

Bibliografia

Angell, I.O.; Godwin, H.J.; "On Truncatable Primes" in Mathematics of Computation, n. 31, pag. 265 – 267, 1977.
Kahan, Steven; Weintraub, Sol; "Left Truncatable Primes" in Journal of Recreational Mathematics, vol. 29, n. 4, 1998.
Roberts, Joe; The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -
Una miniera di informazioni sugli interi.

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