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Primi troncabili

Rappresentazione dei numeri 

Sono talvolta chiamati “primi troncabili” i numeri primi che rimangono tali se viene tolta la prima cifra, come 37; di solito vengono considerati troncabili anche i primi di una sola cifra.

 

Un primo troncabile, privato della prima cifra, può generare un altro primo troncabile; in alcuni casi si possono continuare a togliere cifre, ottenendo nuovi primi, sino a restare con una sola cifra, come nel caso di 6317: 317, 17 e 3 sono infatti primi.

Più comunemente si chiamano “primi troncabili” i numeri primi che non contengono zeri e che restano primi se ad essi vengono progressivamente tolte cifre, fino a restare con un numero primo di una sola cifra.

 

In base 10 vi sono in tutto 4260 primi del genere, il massimo dei quali è 357686312646216567629137 (I.O. Angell e H.J. Godwin, 1977); qualsiasi cifra aggiunta a sinistra produce un numero composto.

Kanah e Weintraub trovarono in tutto 1440 primi troncabili, ai quali non si possono aggiungere altre cifre, che chiamarono “primi di Enrico VIII”, in ricordo dell’abitudine del sovrano di decapitare le consorti; troncandoli si generano in tutto 4260 primi.

Qui trovate i primi troncabili a sinistra in base 10.

Tra questi vi sono alcuni numeri curiosi:

  • solo 76367 è palindromo;

  • ben 127, il massimo dei quali è 351275463876537547, restano primi se si inverte l’ordine delle cifre;

  • 21, il massimo dei quali è 32184967, sono formati da cifre differenti;

  • 57 contengono tutte le cifre, tranne naturalmente zero;

  • 9, il massimo dei quali è 933739397, sono formati da sole cifre dispari.

In questi primi non si permette l’uso dello zero, altrimenti il loro numero diventerebbe probabilmente infinito in tutte le basi; in particolare sarebbero troncabili tutti i primi in base 2. L’unica eccezione è in base 2, per la quale si ammette l’utilizzo di 102 = 2 e 112 = 3 alla fine dell'eliminazione delle cifre, perché altrimenti non esisterebbero primi di questa categoria.

 

Il concetto di primi troncabili si può generalizzare ad altre basi; la tabella seguente mostra i primi troncabili a sinistra di almeno due cifre minori di 1000 nelle basi fino a 20.

Base

Primi

2

102 = 2, 112 = 3, 1112 = 7

3

123 = 5, 2123 = 23

4

134 = 7, 234 = 11, 1134 = 23, 2234 = 43, 3234 = 59, 12234 = 107, 21134 = 151, 33234 = 251, 212234 = 619, 321134 = 919

5

125 = 7, 235 = 13, 325 = 17, 435 = 23, 2325 = 67, 2435 = 73, 4125 = 107, 4235 = 113, 22325 = 317, 44125 = 607, 44235 = 613

6

156 = 11, 256 = 17, 356 = 23, 456 = 29, 1156 = 47, 1256 = 53, 1356 = 59, 2156 = 83, 2256 = 89, 2456 = 101, 3356 = 131, 3456 = 137, 4356 = 167, 4456 = 173, 5156 = 191, 5256 = 197, 11156 = 263, 11256 = 269, 12456 = 317, 13356 = 347, 13456 = 353, 14356 = 383, 14456 = 389, 21156 = 479, 21356 = 491, 22256 = 521, 23356 = 563, 23456 = 569, 24356 = 599, 31256 = 701, 34456 = 821, 35156 = 839, 41156 = 911, 42156 = 947, 42256 = 953

7

237 = 17, 257 = 19, 327 = 23, 437 = 31, 527 = 37, 657 = 47, 4437 = 227, 4527 = 233, 6237 = 311, 6257 = 313, 6327 = 317, 6527 = 331, 24527 = 919, 26237 = 997

8

138 = 11, 158 = 13, 238 = 19, 278 = 23, 358 = 29, 378 = 31, 458 = 37, 538 = 43, 578 = 47, 658 = 53, 738 = 59, 758 = 61, 1238 = 83, 1458 = 101, 1538 = 107, 2138 = 139, 2278 = 151, 2358 = 157, 2658 = 181, 3238 = 211, 3378 = 223, 3458 = 229, 3578 = 239, 3738 = 251, 4158 = 269, 4458 = 293, 4758 = 317, 5138 = 331, 5358 = 349, 5578 = 367, 5658 = 373, 5738 = 379, 6158 = 397, 6458 = 421, 6578 = 431, 6738 = 443, 7158 = 461, 7238 = 467, 7378 = 479, 7538 = 491, 7758 = 509, 11458 = 613, 11538 = 619, 13578 = 751, 14758 = 829, 17378 = 991

9

129 = 11, 259 = 23, 329 = 29, 459 = 41, 479 = 43, 529 = 47, 659 = 59, 679 = 61, 879 = 79, 2129 = 173, 2329 = 191, 2679 = 223, 2879 = 241, 4259 = 347, 4329 = 353, 4479 = 367, 4659 = 383, 6259 = 509, 6679 = 547, 8129 = 659, 8329 = 677, 8479 = 691, 8679 = 709, 8879 = 727

10

13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, 137, 167, 173, 197, 223, 283, 313, 317, 337, 347, 353, 367, 373, 383, 397, 443, 467, 523, 547, 613, 617, 643, 647, 653, 673, 683, 743, 773, 797, 823, 853, 883, 937, 947, 953, 967, 983, 997

11

1211 = 13, 2711 = 29, 4311 = 47, 6511 = 71, 6711 = 73, 7211 = 79, 9211 = 101, A311 = 113, 22711 = 271, 26511 = 313, 46711 = 557, 47211 = 563, 61211 = 739, 64311 = 773, 66511 = 797, 69211 = 827, 6A311 = 839, 82711 = 997

12

1512 = 17, 1712 = 19, 1B12 = 23, 2512 = 29, 2712 = 31, 3512 = 41, 3712 = 43, 3B12 = 47, 4512 = 53, 4B12 = 59, 5712 = 67, 5B12 = 71, 6712 = 79, 6B12 = 83, 7512 = 89, 8512 = 101, 8712 = 103, 8B12 = 107, 9512 = 113, A712 = 127, AB12 = 131, B512 = 137, B712 = 139, 11712 = 163, 11B12 = 167, 12512 = 173, 13B12 = 191, 14512 = 197, 15712 = 211, 16712 = 223, 16B12 = 227, 17512 = 233, 18B12 = 251, 19512 = 257, 1A712 = 271, 1B512 = 281, 1B712 = 283, 21712 = 307, 21B12 = 311, 22512 = 317, 23712 = 331, 24B12 = 347, 25B12 = 359, 26712 = 367, 28512 = 389, 29512 = 401, 2AB12 = 419, 31512 = 449, 32512 = 461, 32712 = 463, 33B12 = 479, 34B12 = 491, 35712 = 499, 35B12 = 503, 37512 = 521, 3AB12 = 563, 3B512 = 569, 3B712 = 571, 41512 = 593, 41B12 = 599, 42712 = 607, 43512 = 617, 43712 = 619, 45712 = 643, 45B12 = 647, 46B12 = 659, 48512 = 677, 48B12 = 683, 51712 = 739, 51B12 = 743, 52712 = 751, 53512 = 761, 54512 = 773, 55712 = 787, 57512 = 809, 58512 = 821, 58712 = 823, 58B12 = 827, 5B512 = 857, 5B712 = 859, 61512 = 881, 61712 = 883, 61B12 = 887, 63712 = 907, 63B12 = 911, 66B12 = 947, 67512 = 953, 68712 = 967, 68B12 = 971, 69512 = 977, 6A712 = 991

13

2313 = 29, 2513 = 31, 2B13 = 37, 3213 = 41, 4713 = 59, 5213 = 67, 6513 = 83, 6B13 = 89, 8313 = 107, 8513 = 109, A713 = 137, C713 = 163, CB13 = 167, 22313 = 367, 23213 = 379, 24713 = 397, 26513 = 421, 45213 = 743, 4C713 = 839

14

1314 = 17, 1514 = 19, 2314 = 31, 2D14 = 41, 3514 = 47, 3B14 = 53, 4314 = 59, 4514 = 61, 4B14 = 67, 5314 = 73, 5D14 = 83, 6514 = 89, 6D14 = 97, 7314 = 101, 7514 = 103, 7B14 = 109, 9514 = 131, 9B14 = 137, 9D14 = 139, AB14 = 151, B314 = 157, BD14 = 167, C514 = 173, CB14 = 179, CD14 = 181, DB14 = 193, 12314 = 227, 14514 = 257, 14B14 = 263, 15314 = 269, 16D14 = 293, 1AB14 = 347, 1B314 = 353, 1DB14 = 389, 21314 = 409, 22D14 = 433, 23514 = 439, 29514 = 523, 2CB14 = 571, 31514 = 607, 32314 = 619, 33B14 = 641, 34314 = 647, 35314 = 661, 36514 = 677, 37514 = 691, 39514 = 719, 39D14 = 727, 3AB14 = 739, 3C514 = 761, 3CD14 = 769, 45314 = 857, 46D14 = 881, 47514 = 887, 4B314 = 941, 4DB14 = 977, 51314 = 997

15

1215 = 17, 2715 = 37, 2B15 = 41, 2D15 = 43, 3215 = 47, 4715 = 67, 4B15 = 71, 4D15 = 73, 6715 = 97, 6B15 = 101, 6D15 = 103, 7215 = 107, 8715 = 127, 8B15 = 131, 9215 = 137, A715 = 157, AD15 = 163, B215 = 167, CB15 = 191, CD15 = 193, D215 = 197, ED15 = 223, 21215 = 467, 22715 = 487, 22B15 = 491, 24B15 = 521, 24D15 = 523, 26715 = 547, 27215 = 557, 28715 = 577, 29215 = 587, 2A715 = 607, 2AD15 = 613, 2B215 = 617, 2CB15 = 641, 2CD15 = 643, 2D215 = 647, 2ED15 = 673, 42715 = 937, 42B15 = 941, 43215 = 947, 44715 = 967, 44B15 = 971, 46715 = 997

16

1316 = 19, 1716 = 23, 1D16 = 29, 2516 = 37, 2B16 = 43, 3516 = 53, 3B16 = 59, 3D16 = 61, 4316 = 67, 4716 = 71, 5316 = 83, 6516 = 101, 6716 = 103, 6B16 = 107, 6D16 = 109, 8316 = 131, 8B16 = 139, 9516 = 149, 9716 = 151, 9D16 = 157, A316 = 163, A716 = 167, AD16 = 173, B316 = 179, B516 = 181, C516 = 197, C716 = 199, D316 = 211, E316 = 227, E516 = 229, FB16 = 251, 12516 = 293, 13D16 = 317, 16716 = 359, 1A316 = 419, 1D316 = 467, 21D16 = 541, 23B16 = 571, 26516 = 613, 26B16 = 619, 28316 = 643, 29516 = 661, 2B316 = 691, 2C516 = 709, 2E316 = 739, 31316 = 787, 31D16 = 797, 32B16 = 811, 33516 = 821, 33B16 = 827, 33D16 = 829, 34716 = 839, 36D16 = 877, 38B16 = 907, 39716 = 919, 3AD16 = 941, 3B316 = 947, 3C716 = 967, 3E516 = 997

17

1217 = 19, 2317 = 37, 2717 = 41, 2D17 = 47, 3217 = 53, 4317 = 71, 4517 = 73, 4B17 = 79, 6517 = 107, 6717 = 109, 6B17 = 113, 8317 = 139, 8D17 = 149, A317 = 173, AB17 = 181, C717 = 211, D217 = 223, E317 = 241, ED17 = 251, F217 = 257, G517 = 277, GB17 = 283, 22717 = 619, 23217 = 631, 26B17 = 691, 28D17 = 727, 2A317 = 751, 2ED17 = 829

18

1518 = 23, 1B18 = 29, 1D18 = 31, 2518 = 41, 2718 = 43, 2B18 = 47, 2H18 = 53, 3518 = 59, 3718 = 61, 3D18 = 67, 3H18 = 71, 4718 = 79, 4B18 = 83, 4H18 = 89, 5718 = 97, 5B18 = 101, 5D18 = 103, 5H18 = 107, 6518 = 113, 7518 = 131, 7B18 = 137, 7D18 = 139, 8518 = 149, 8718 = 151, 8D18 = 157, 9518 = 167, 9B18 = 173, 9H18 = 179, AB18 = 191, AD18 = 193, AH18 = 197, BD18 = 211, C718 = 223, CB18 = 227, CD18 = 229, CH18 = 233, D518 = 239, D718 = 241, DH18 = 251, E518 = 257, EB18 = 263, EH18 = 269, F718 = 277, FB18 = 281, FD18 = 283, G518 = 293, H518 = 311, H718 = 313, HB18 = 317, 11518 = 347, 11B18 = 353, 12718 = 367, 13518 = 383, 15718 = 421, 15H18 = 431, 17B18 = 461, 17D18 = 463, 19518 = 491, 19H18 = 503, 1AH18 = 521, 1C718 = 547, 1CH18 = 557, 1D518 = 563, 1EB18 = 587, 1EH18 = 593, 1F718 = 601, 1FD18 = 607, 1G518 = 617, 1HB18 = 641, 21B18 = 677, 22718 = 691, 22H18 = 701, 23718 = 709, 23H18 = 719, 24718 = 727, 25D18 = 751, 26518 = 761, 27D18 = 787, 28518 = 797, 29B18 = 821, 29H18 = 827, 2AB18 = 839, 2BD18 = 859, 2CD18 = 877, 2CH18 = 881, 2D518 = 887, 2EB18 = 911, 2FB18 = 929, 2G518 = 941

19

2319 = 41, 2519 = 43, 3219 = 59, 4319 = 79, 4719 = 83, 4D19 = 89, 5219 = 97, 6D19 = 127, 6H19 = 131, 8519 = 157, 8B19 = 163, 9219 = 173, A319 = 193, A719 = 197, B219 = 211, C519 = 233, CB19 = 239, CD19 = 241, E319 = 269, E519 = 271, EB19 = 277, EH19 = 283, G319 = 307, G719 = 311, GD19 = 317, I519 = 347, I719 = 349, IB19 = 353, IH19 = 359, 24D19 = 811, 26H19 = 853, 2A719 = 919, 2E319 = 991

20

1320 = 23, 1B20 = 31, 1H20 = 37, 2320 = 43, 2720 = 47, 2D20 = 53, 2J20 = 59, 3720 = 67, 3B20 = 71, 3D20 = 73, 3J20 = 79, 4320 = 83, 4H20 = 97, 5320 = 103, 5720 = 107, 5D20 = 113, 6720 = 127, 6B20 = 131, 6H20 = 137, 6J20 = 139, 7B20 = 151, 7H20 = 157, 8320 = 163, 8720 = 167, 8D20 = 173, 8J20 = 179, 9B20 = 191, 9D20 = 193, 9H20 = 197, 9J20 = 199, AB20 = 211, B320 = 223, B720 = 227, BD20 = 233, BJ20 = 239, CB20 = 251, CH20 = 257, D320 = 263, DB20 = 271, DH20 = 277, E320 = 283, ED20 = 293, F720 = 307, FB20 = 311, FD20 = 313, FH20 = 317, GB20 = 331, GH20 = 337, H720 = 347, HD20 = 353, HJ20 = 359, I720 = 367, ID20 = 373, IJ20 = 379, J320 = 383, JH20 = 397, 11B20 = 431, 12320 = 443, 13720 = 467, 13J20 = 479, 15320 = 503, 17H20 = 557, 18320 = 563, 19D20 = 593, 19J20 = 599, 1DH20 = 677, 1E320 = 683, 1ID20 = 773, 1JH20 = 797, 21320 = 823, 22D20 = 853, 22J20 = 859, 24320 = 883, 25720 = 907, 26H20 = 937, 28720 = 967, 29B20 = 991, 29H20 = 997

 

La tabella seguente mostra il numero di primi troncabili a sinistra e il massimo primo troncabile a sinistra nelle basi fino a 20.

Base

Numero primi

Massimo primo

2

3

1112 = 7

3

3

2123 = 23

4

16

3333234 = 4091

5

15

2222325 = 7817

6

454

141415114144514356 = 4836525320399

7

22

66426237 = 817337

8

446

3136361655377758 = 14005650767869

9

108

42844844659 = 1676456897

10

4260

357686312646216567629137

11

75

A6882282711 = 2276005673

12

170053

471A34A164259B324AB8A32B781712 = 13092430647736190817303130065827539

13

100

CC4C8C6513 = 812751503

14

34393

D967CCD63388522619883A7D2314 = 615419590422100474355767356763

15

9357

6C6C2CE2CEEEA4826E642B15 = 34068645705927662447286191

16

27982

DBC7FBA24FE6AEC462ABF63B316 = 1088303707153521644968345559987

17

362

6C66CC4CC8317 = 13563641583101

18

14979714

AF93E41A586HE75A7HHAAB7HE12FG79992GA7741B3D18 = 571933398724668544269594979167602382822769202133808087

19

685

CIEG86GCEA2C6H19 = 546207129080421139

20

3062899

FC777G3CG1FIDI9I31IE5FFB379C7A3F6EFID20 = 1073289911449776273800623217566610940096241078373

 

Da notare che un primo troncabile a sinistra può essere scritto con tutte le cifre cifre pari tranne l’ultima in base pari, come 223 o 6C6C2CE2CEEEA4826E642B15, o tutte pari tranne l’ultima o la penultima in base dispari, come 2123.

 

Togliendo le cifre da destra, una alla volta si ottiene un differente insieme di primi troncabili; vi sono in tutto 83 primi troncabili a destra in base 10 (I.O. Angell e H.J. Godwin, 1977): 2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797, 2333, 2339, 2393, 2399, 2939, 3119, 3137, 3733, 3739, 3793, 3797, 5939, 7193, 7331, 7333, 7393, 23333, 23339, 23399, 23993, 29399, 31193, 31379, 37337, 37339, 37397, 59393, 59399, 71933, 73331, 73939, 233993, 239933, 293999, 373379, 373393, 593933, 593993, 719333, 739391, 739393, 739397, 739399, 2339933, 2399333, 2939999, 3733799, 5939333, 7393913, 7393931, 7393933, 23399339, 29399999, 37337999, 59393339, 73939133.

In base 2 si ammette l’utilizzo di 102 = 2 e 112 = 3 alla fine dell'eliminazione delle cifre, perché altrimenti non esisterebbero primi di questa categoria.

 

La tabella seguente mostra i primi troncabili a destra di almeno due cifre minori di 1000 nelle basi fino a 20.

Base

Primi

2

112 = 3, 1012 = 5, 1112 = 7, 10112 = 11, 101112 = 23, 1011112 = 47

3

213 = 7, 2123 = 23, 21223 = 71

4

234 = 11, 314 = 13, 2334 = 47, 3114 = 53, 23334 = 191

5

215 = 11, 235 = 13, 325 = 17, 345 = 19, 2145 = 59, 2325 = 67, 3245 = 89, 3425 = 97, 23225 = 337, 32445 = 449, 34225 = 487

6

216 = 13, 256 = 17, 316 = 19, 356 = 23, 516 = 31, 2116 = 79, 2156 = 83, 2516 = 103, 2556 = 107, 3516 = 139, 5156 = 191, 21156 = 479, 21516 = 499, 21556 = 503, 25116 = 619, 25516 = 643, 25556 = 647, 35156 = 839

7

237 = 17, 257 = 19, 327 = 23, 527 = 37, 567 = 41, 2547 = 137, 2567 = 139, 3227 = 163, 3267 = 167, 5247 = 263, 5667 = 293, 25647 = 977

8

218 = 17, 238 = 19, 278 = 23, 358 = 29, 378 = 31, 518 = 41, 538 = 43, 578 = 47, 738 = 59, 758 = 61, 2118 = 137, 2138 = 139, 2358 = 157, 2778 = 191, 3518 = 233, 3578 = 239, 3738 = 251, 5138 = 331, 5338 = 347, 5358 = 349, 5738 = 379, 5778 = 383, 7378 = 479, 7538 = 491

9

219 = 19, 259 = 23, 329 = 29, 349 = 31, 529 = 47, 589 = 53, 749 = 67, 789 = 71, 2129 = 173, 2189 = 179, 2549 = 211, 3229 = 263, 3289 = 269, 3429 = 281, 3449 = 283, 5289 = 431, 5829 = 479, 7449 = 607, 7829 = 641, 7849 = 643, 7889 = 647

10

23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797

11

2111 = 23, 2711 = 29, 2911 = 31, 3411 = 37, 3811 = 41, 3A11 = 43, 5411 = 59, 5611 = 61, 7211 = 79, 7611 = 83, 21411 = 257, 21A11 = 263, 29611 = 347, 29811 = 349, 34211 = 409, 38611 = 457, 38A11 = 461, 3A611 = 479, 54411 = 653, 54A11 = 659, 56211 = 673, 56611 = 677, 72811 = 877, 76611 = 919

12

2512 = 29, 2712 = 31, 3112 = 37, 3512 = 41, 3712 = 43, 3B12 = 47, 5112 = 61, 5712 = 67, 5B12 = 71, 7512 = 89, B512 = 137, B712 = 139, 25112 = 349, 25512 = 353, 25B12 = 359, 27112 = 373, 27712 = 379, 27B12 = 383, 31512 = 449, 35712 = 499, 35B12 = 503, 37512 = 521, 37712 = 523, 3B512 = 569, 3B712 = 571, 51112 = 733, 51712 = 739, 51B12 = 743, 57512 = 809, 57712 = 811, 5B112 = 853, 5B512 = 857, 5B712 = 859, 5BB12 = 863

13

2313 = 29, 2513 = 31, 2B13 = 37, 3213 = 41, 3413 = 43, 3813 = 47, 5213 = 67, 5613 = 71, 5813 = 73, 7613 = 97, 7A13 = 101, 7C13 = 103, B613 = 149, B813 = 151, 23213 = 379, 23613 = 383, 23C13 = 389, 25613 = 409, 2B613 = 487, 2BA13 = 491, 32813 = 541, 34413 = 563, 34A13 = 569, 34C13 = 571, 38213 = 613, 38613 = 617, 38813 = 619, 52613 = 877, 52A13 = 881, 52C13 = 883, 56613 = 929, 58413 = 953

14

2114 = 29, 2314 = 31, 2914 = 37, 2D14 = 41, 3114 = 43, 3514 = 47, 3B14 = 53, 5114 = 71, 5314 = 73, 5914 = 79, 5D14 = 83, 7314 = 101, 7514 = 103, 7914 = 107, 7B14 = 109, B314 = 157, B914 = 163, BD14 = 167, D914 = 191, DB14 = 193, 21314 = 409, 21D14 = 419, 23514 = 439, 23914 = 443, 29314 = 521, 29514 = 523, 2D314 = 577, 2DD14 = 587, 31514 = 607, 31B14 = 613, 35114 = 659, 35314 = 661, 3B114 = 743, 3B914 = 751, 51314 = 997

15

2115 = 31, 2715 = 37, 2B15 = 41, 2D15 = 43, 3215 = 47, 3815 = 53, 3E15 = 59, 5415 = 79, 5815 = 83, 5E15 = 89, 7215 = 107, 7415 = 109, 7815 = 113, B215 = 167, B815 = 173, BE15 = 179, D215 = 197, D415 = 199, 21215 = 467, 21E15 = 479, 27215 = 557, 27815 = 563, 27E15 = 569, 2B215 = 617, 2B415 = 619, 2D215 = 647, 2D815 = 653, 2DE15 = 659, 32415 = 709, 32E15 = 719, 38215 = 797, 38E15 = 809, 3E215 = 887

16

2516 = 37, 2916 = 41, 2B16 = 43, 2F16 = 47, 3516 = 53, 3B16 = 59, 3D16 = 61, 5316 = 83, 5916 = 89, 7116 = 113, 7F16 = 127, B316 = 179, B516 = 181, BF16 = 191, D316 = 211, DF16 = 223, 25116 = 593, 25716 = 599, 25916 = 601, 25F16 = 607, 29316 = 659, 29516 = 661, 2B316 = 691, 2BD16 = 701, 2F516 = 757, 2F916 = 761, 35516 = 853, 35916 = 857, 35B16 = 859, 35F16 = 863, 3B316 = 947, 3B916 = 953, 3D116 = 977, 3D716 = 983, 3DF16 = 991

17

2317 = 37, 2717 = 41, 2917 = 43, 2D17 = 47, 3217 = 53, 3817 = 59, 3A17 = 61, 3G17 = 67, 5417 = 89, 5C17 = 97, 5G17 = 101, 7817 = 127, 7C17 = 131, B417 = 191, B617 = 193, BA17 = 197, BC17 = 199, D217 = 223, D617 = 227, D817 = 229, DC17 = 233, 23217 = 631, 23C17 = 641, 23E17 = 643, 27417 = 701, 27C17 = 709, 29217 = 733, 29817 = 739, 29C17 = 743, 2DA17 = 809, 2DC17 = 811, 32617 = 907, 32A17 = 911

18

2118 = 37, 2518 = 41, 2718 = 43, 2B18 = 47, 2H18 = 53, 3518 = 59, 3718 = 61, 3D18 = 67, 3H18 = 71, 5718 = 97, 5B18 = 101, 5D18 = 103, 5H18 = 107, 7118 = 127, 7518 = 131, 7B18 = 137, 7D18 = 139, B118 = 199, BD18 = 211, D518 = 239, D718 = 241, DH18 = 251, H118 = 307, H518 = 311, H718 = 313, HB18 = 317, 21718 = 673, 21B18 = 677, 21H18 = 683, 25118 = 739, 25518 = 743, 25D18 = 751, 27D18 = 787, 2B718 = 853, 2BB18 = 857, 2BD18 = 859, 2BH18 = 863, 2HD18 = 967, 2HH18 = 971

19

2319 = 41, 2519 = 43, 2919 = 47, 2F19 = 53, 3219 = 59, 3419 = 61, 3A19 = 67, 3E19 = 71, 3G19 = 73, 5219 = 97, 5619 = 101, 5819 = 103, 5C19 = 107, 5E19 = 109, 5I19 = 113, 7419 = 137, 7619 = 139, 7G19 = 149, 7I19 = 151, B219 = 211, BE19 = 223, BI19 = 227, D419 = 251, DA19 = 257, DG19 = 263, H819 = 331, HE19 = 337, 23819 = 787, 23I19 = 797, 25419 = 821, 25619 = 823, 25A19 = 827, 25C19 = 829, 29E19 = 907, 29I19 = 911

20

2120 = 41, 2320 = 43, 2720 = 47, 2D20 = 53, 2J20 = 59, 3120 = 61, 3720 = 67, 3B20 = 71, 3D20 = 73, 3J20 = 79, 5120 = 101, 5320 = 103, 5720 = 107, 5920 = 109, 5D20 = 113, 7920 = 149, 7B20 = 151, 7H20 = 157, B320 = 223, B720 = 227, B920 = 229, BD20 = 233, BJ20 = 239, D320 = 263, D920 = 269, DB20 = 271, DH20 = 277, H720 = 347, H920 = 349, HD20 = 353, HJ20 = 359, J320 = 383, J920 = 389, JH20 = 397, 21120 = 821, 21320 = 823, 21720 = 827, 21920 = 829, 21J20 = 839, 23320 = 863, 23H20 = 877, 27120 = 941, 27720 = 947, 27D20 = 953

 

La tabella seguente mostra il numero di primi troncabili a destra e il massimo primo troncabile a destra nelle basi fino a 20.

Base

Numero primi

Massimo primo

2

7

1011112 = 47

3

4

21223 = 71

4

7

23334 = 191

5

14

342225 = 2437

6

36

21555556 = 108863

7

19

256427 = 6841

8

68

211177178 = 4497359

9

68

34442242229 = 1355840309

10

83

73939133

11

89

29668286AA11 = 6774006887

12

179

375BB5B51512 = 18704078369

13

176

B6C2CA8A8A13 = 122311273757

14

439

2DD35B9D399395B3D14 = 6525460043032393259

15

373

72424E42EEE8E15 = 927920056668659

16

414

3B9BF319BD51FF16 = 16778492037124607

17

473

5G4CEE8EC688CAC86G17 = 4928397730238375565449

18

839

DH17HB7BBD75BDB18 = 5228233855704101657

19

1010

3EC8GI8ICIEG8C19 = 3013357583408354653

20

1577

23HBH9D19HH9JDDJ920 = 1437849529085279949589

 

Da notare che un primo troncabile a destra può essere scritto con tutte le cifre cifre pari tranne la prima o la seconda, come B6C2CA8A8A13 o 21223.

 

La tabella seguente mostra i primi troncabili sia a destra che a sinistra nelle basi fino a 20.

Base

Numero primi

Primi

2

3

102 = 2, 112 = 3, 1112 = 7

3

2

23 = 2, 2123 = 23

4

3

24 = 2, 34 = 3, 234 = 11

5

5

25 = 2, 35 = 3, 235 = 13, 325 = 17, 2325 = 67

6

9

26 = 2, 36 = 3, 56 = 5, 256 = 17, 356 = 23, 2156 = 83, 5156 = 191, 21156 = 479, 35156 = 839

7

7

27 = 2, 37 = 3, 57 = 5, 237 = 17, 257 = 19, 327 = 23, 527 = 37

8

22

28 = 2, 38 = 3, 58 = 5, 78 = 7, 238 = 19, 278 = 23, 358 = 29, 378 = 31, 538 = 43, 578 = 47, 738 = 59, 758 = 61, 2138 = 139, 2358 = 157, 3578 = 239, 3738 = 251, 5138 = 331, 5358 = 349, 5738 = 379, 7378 = 479, 7538 = 491, 35138 = 1867

9

8

29 = 2, 39 = 3, 59 = 5, 79 = 7, 259 = 23, 329 = 29, 529 = 47, 2129 = 173

10

15

2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 313, 317, 373, 797, 3137, 3797, 739397

11

6

211 = 2, 311 = 3, 511 = 5, 711 = 7, 2911 = 31, 7211 = 79

12

35

212 = 2, 312 = 3, 512 = 5, 712 = 7, B12 = 11, 2512 = 29, 2712 = 31, 3512 = 41, 3712 = 43, 3B12 = 47, 5712 = 67, 5B12 = 71, 7512 = 89, B512 = 137, B712 = 139, 25B12 = 359, 31512 = 449, 35712 = 499, 35B12 = 503, 37512 = 521, 3B512 = 569, 3B712 = 571, 51712 = 739, 51B12 = 743, 57512 = 809, 5B512 = 857, 5B712 = 859, 255712 = 4243, 35B712 = 6043, 511712 = 8803, 511B12 = 8807, 51B712 = 8923, 5B1B12 = 10247, 375B512 = 75161, 511B712 = 105691

13

11

213 = 2, 313 = 3, 513 = 5, 713 = 7, B13 = 11, 2313 = 29, 2513 = 31, 2B13 = 37, 3213 = 41, 5213 = 67, 23213 = 379

14

37

214 = 2, 314 = 3, 514 = 5, 714 = 7, B14 = 11, D14 = 13, 2314 = 31, 2D14 = 41, 3514 = 47, 3B14 = 53, 5314 = 73, 5D14 = 83, 7314 = 101, 7514 = 103, 7B14 = 109, B314 = 157, BD14 = 167, DB14 = 193, 21314 = 409, 23514 = 439, 29514 = 523, 31514 = 607, 35314 = 661, 51314 = 997, 53B14 = 1033, 59B14 = 1117, 79D14 = 1511, B3514 = 2203, B9514 = 2287, B9B14 = 2293, D9D14 = 2687, 315314 = 8501, 539D14 = 14447, 739514 = 19927, B39D14 = 30911, D93514 = 37483, D99B14 = 37573

15

17

215 = 2, 315 = 3, 515 = 5, 715 = 7, B15 = 11, D15 = 13, 2715 = 37, 2B15 = 41, 2D15 = 43, 3215 = 47, 7215 = 107, B215 = 167, D215 = 197, 21215 = 467, 27215 = 557, 2B215 = 617, 2D215 = 647

16

22

216 = 2, 316 = 3, 516 = 5, 716 = 7, B16 = 11, D16 = 13, 2516 = 37, 2B16 = 43, 3516 = 53, 3B16 = 59, 3D16 = 61, 5316 = 83, B316 = 179, B516 = 181, D316 = 211, 29516 = 661, 2B316 = 691, 3B316 = 947, 59516 = 1429, 71316 = 1811, BFB16 = 3067, D3D16 = 3389

17

12

217 = 2, 317 = 3, 517 = 5, 717 = 7, B17 = 11, D17 = 13, 2317 = 37, 2717 = 41, 2D17 = 47, 3217 = 53, D217 = 223, 23217 = 631

18

68

218 = 2, 318 = 3, 518 = 5, 718 = 7, B18 = 11, D18 = 13, H18 = 17, 2518 = 41, 2718 = 43, 2B18 = 47, 2H18 = 53, 3518 = 59, 3718 = 61, 3D18 = 67, 3H18 = 71, 5718 = 97, 5B18 = 101, 5D18 = 103, 5H18 = 107, 7518 = 131, 7B18 = 137, 7D18 = 139BD18 = 211, D518 = 239, D718 = 241, DH18 = 251, H518 = 311, H718 = 313, HB18 = 317, 21B18 = 677, 25D18 = 751, 27D18 = 787, 2BD18 = 859, 35718 = 1069, 37518 = 1103, 37B18 = 1109, 3D718 = 1213, 3DH18 = 1223, 3H518 = 1283, 3HB18 = 1289, 57D18 = 1759, 5BD18 = 1831, 5D718 = 1861, 5DH18 = 1871, 5H518 = 1931, 5H718 = 1933, 71B18 = 2297, 75D18 = 2371, B1B18 = 3593, BD518 = 3803, D7B18 = 4349, DH518 = 4523, H1518 = 5531, H7518 = 5639, H7D18 = 5647, 2BD518 = 15467, 2BH718 = 15541, 375D18 = 19867, 3H1518 = 23027, 5B5H18 = 32831, 5DDH18 = 33623, 5H7D18 = 34807, 711B18 = 41177, 7B1B18 = 44417, B11518 = 64499, H11B18 = 99497, H7H518 = 101723, 5B5H518 = 590963, 5H511HB18 = 202715129

19

12

219 = 2, 319 = 3, 519 = 5, 719 = 7, B19 = 11, D19 = 13, H19 = 17, 2319 = 41, 2519 = 43, 3219 = 59, 5219 = 97, B219 = 211

20

68

220 = 2, 320 = 3, 520 = 5, 720 = 7, B20 = 11, D20 = 13, H20 = 17, J20 = 19, 2320 = 43, 2720 = 47, 2D20 = 53, 2J20 = 59, 3720 = 67, 3B20 = 71, 3D20 = 73, 3J20 = 79, 5320 = 103, 5720 = 107, 5D20 = 113, 7B20 = 151, 7H20 = 157, B320 = 223, B720 = 227, BD20 = 233, BJ20 = 239, D320 = 263, DB20 = 271, DH20 = 277, H720 = 347, HD20 = 353, HJ20 = 359, J320 = 383, JH20 = 397, 21320 = 823, 2D320 = 1063, 31320 = 1223, 31B20 = 1231, 31H20 = 1237, 3B320 = 1423, 3B720 = 1427, 3BD20 = 1433, 3BJ20 = 1439, 3DB20 = 1471, 3J320 = 1583, 3JH20 = 1597, 79J20 = 2999, 7B320 = 3023, B9B20 = 4591, B9H20 = 4597, BD320 = 4663, BJ320 = 4783, D3D20 = 5273, D3J20 = 5279, D9D20 = 5393, D9J20 = 5399, H9B20 = 6991, H9H20 = 6997, J3D20 = 7673, J9D20 = 7793, 319D20 = 24593, 3B9B20 = 28591, 3B9H20 = 28597, 3BD320 = 28663, 539J20 = 41399, B93D20 = 91673, B9B320 = 91823, J99H20 = 155797, J9D320 = 155863

 

I primi troncabili a destra o a sinistra sono casi particolari dei primi cancellabili.

 

I primi troncabili a destra o a sinistra sono probabilmente in numero finito in qualsiasi base; fissata la base, è relativamente facile trovarli tutti e in tutte le basi esaminate il loro numero è finito, ma una dimostrazione generale non esiste e sembra molto difficile.

Bibliografia

  • Angell, I.O.;  Godwin, H.J.;  "On Truncatable Primes" in Mathematics of Computation, n. 31, pag. 265 – 267, 1977.
  • Kahan, Steven;  Weintraub, Sol;  "Left Truncatable Primes" in Journal of Recreational Mathematics, vol. 29, n. 4, 1998.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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