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Pitagora (costante di)

Algebra  Geometria 

Viene chiamata “costante di Pitagora” la radice quadrata di 2, circa uguale a 1.4142135624, perché si attribuisce a Pitagora o alla sua scuola la dimostrazione dell’irrazionalità di Radice quadrata di 2, intorno al 430 a.C. (v. numeri irrazionali). Teodoro estese la dimostrazione alle radici quadrate degli interi fino a 17, esclusi naturalmente i quadrati 4, 9 e 16 (v. costante di Hlawka).

Finalmente Euclide estese la dimostrazione a tutte le radici quadrate di interi positivi che non siano quadrati.

 

E’ un numero irrazionale algebrico di secondo grado. E’ semplicemente normale in base 2 (Richard Isaac, 2006), si suppone che sia normale in base 2.

La costante di Pitagora è anche la costante di Hermite γ4 e la costante di Grothendieck kR(2).

Qui trovate le prime 1000157 cifre decimali della costante di Pitagora (Robert Nemiroff e Jerry Bonnell) (1 MByte).

 

Il rapporto tra due numeri di Pell consecutivi tende a Radice quadrata di 2 più uno, quindi Approssimazione razionale della costante di Pitagora, dove Pn è un numero di Pell, è una sequenza di approssimazioni razionali della costante, che migliorano al crescere di n.

 

Alcune formule che coinvolgono la costante:

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora (Eulero 1755);

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora (Eulero 1748);

<>Formula che coinvolge la costante di Pitagora, per nintero positivo;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora;

Formula che coinvolge la costante di Pitagora.

 

Un inatteso legame con la teoria dei numeri viene dal limite Limite che coinvolge la costante di Pitagora Yacin Aktar, 2005.

 

La costante di Pitagora appare nello sviluppo di funzioni trigonometriche di numeri della forma k / 2^n * π:

Valore di funzione trigonometrica che coinvolge la costante di Pitagora,

Valore di funzione trigonometrica che coinvolge la costante di Pitagora,

Valore di funzione trigonometrica che coinvolge la costante di Pitagora,

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Valore di funzione trigonometrica che coinvolge la costante di Pitagora,

Valore di funzione trigonometrica che coinvolge la costante di Pitagora,

Valore di funzione trigonometrica che coinvolge la costante di Pitagora.

 

Lo sviluppo in frazione continua della costante è particolarmente semplice: Sviluppo in frazione continua della costante di Pitagora (Bombelli 1572). Troncando la frazione continua si ottengono approssimazioni razionali basate sui numeri di Pell; per esempio Approssimazione razionale della costante di Pitagora, che dà 8 cifre corrette, Approssimazione razionale della costante di Pitagora, che ne dà 10 o Approssimazione razionale della costante di Pitagora, che ne dà 19.

 

Notevoli anche le seguenti approssimazioni con numeratore e denominatore primi: Approssimazione razionale della costante di Pitagora, che dà 10 cifre, e Approssimazione razionale della costante di Pitagora, la più semplice frazione che dia 8 cifre di precisione.

 

Alle voci espansione di Engel ed espansione di Lehmer trovate ottime approssimazioni della costante.

 

Per calcolare le radici quadrate esistono varie successioni che danno convergenze lineari, cioè aumentano linearmente il numero di cifre corrette a ogni iterazione, come: x0 = y0 = 1, xn + 1 = xn + 2yn, yn + 1 = xn + yn e La costante di Pitagora come limite del rapporto tra termini delle successioni.

Esistono però anche varie successioni che danno convergenze quadratiche, cioè raddoppiano il numero di cifre corrette a ogni iterazione, quindi sono nettamente più efficienti, con solo un leggero aumento della complessità dei singoli passi. Per esempio:

  • se x0 = y0 = 1, Formula per il calcolo dei termini delle successioni, Formula per il calcolo dei termini delle successioni, allora La costante di Pitagora come limite del rapporto tra termini delle successioni;

  • se x0 = 1 e Formula per il calcolo dei termini della successione, allora La costante di Pitagora come limite della successione;

  • se Valore di x(0) e Formula per il calcolo dei termini della successione, allora Il reciproco della costante di Pitagora come limite della successione.

Esistono sequenze che danno convergenze cubiche, che a ogni passo moltiplicano il numero di cifre corrette per 3:

  • se x0 = 1 e Formula per il calcolo dei termini della successione, allora La costante di Pitagora come limite della successione, pubblicata nel 1694 dall’astronomo Edmond Halley (Londra, 8/11/1656 – Londra, 14/1/1742);

  • se Formula per il calcolo dei termini della successione e x0 è una ragionevole approssimazione di Reciproco della radice quadrata di k, allora Il reciproco della radice quadrata di k come limite della successione, che deriva da formule più generali pubblicate da Halston Scott Householder (Rockford, USA, 5/5/1904 – Malibu, USA, 4/7/1993) nel 1970.

Se k = 2, l’ultima successione diventa Formula per il calcolo dei termini della successione; utilizzando come approssimazione iniziale Valore di x(0), dopo solo 7 iterazioni si ottengono addirittura 808 cifre corrette!

Esistono anche sequenze che convergono ancor più rapidamente: in effetti non vi è limite alla velocità di convergenza, ma al suo aumenta anche il numero di operazioni da effettuare a ogni passo, quindi in pratica non sempre sequenze a convergenza molto rapida sono convenienti. Alcuni esempi, come le seguenti:

x0 = 1, Formula per il calcolo dei termini della successioneLa costante di Pitagora come limite della successione (la precisione quadruplica a ogni passo);

x0 = 1, Formula per il calcolo dei termini della successioneLa costante di Pitagora come limite della successione (la precisione quintuplica a ogni passo);

x0 = 1, y0 = 1, Formula per il calcolo dei termini della successioneFormula per il calcolo dei termini della successioneLa costante di Pitagora come limite del rapporto tra termini delle successioni (la precisione quintuplica a ogni passo);

x0 = 1, Formula per il calcolo dei termini della successioneLa costante di Pitagora come limite della successione (la precisione si moltiplica per 8 a ogni passo).

 

Un caso curioso è la ricorrenza di Wolfram: x0 = r; y0 = 0; xn + 1 = 4(xnyn – 1) e yn + 1 = 2(yn + 1), se xnyn + 1, xn + 1 = 4xn e yn + 1 = 2yn altrimenti. Se 1 ≤ r < 4, i valori di yn sono le cifre della rappresentazione binaria di Radice quadrata di r.

 

Una ricorrenza completamente differente è: a1 = 1, Formula per il calcolo della ricorrenza, che genera la sequenza: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 27, 38, 54, 77, 109, 154, 218, …. Non sembra esserci nulla di speciale nella sequenza, ma R.L. Graham e H.O. Pollak dimostrarono (“Note on a nonlinear recurrence related to sqrt(2)”, Mathematics Magazine, Volume 43, pag. 143 – 145, 1970) che a2n + 1a2n – 1 è l’n-esimo bit della rappresentazione binaria di Rappresentazione binaria della radice quadrata di 2. La sequenza è quindi nota come “sequenza di Graham – Pollak”.

Nel 2009 Thomas Stoll dimostrò che se si sostituisce 1 / 2 con un altro numero reale x nel calcolo dei termini della sequenza per n dispari, si ottengono sequenze simili, dalle quali si possono ricavare allo stesso modo le cifre binarie di numeri della forma a + b * sqrt(2), con a e brazionali. Per esempio, per x = π^2 / e^3 si ricavano le cifre della rappresentazione binaria di a + b * sqrt(2).

Qui trovate i primi 1000 termini della sequenza di Graham – Pollak.

Qui trovate le prime 1000 cifre della rappresentazione binaria della costante di Pitagora (T.D. Noe, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La costante ha grande importanza, non solo in geometria, ed è relativamente facile da calcolare con precisione; non sorprende quindi che sin dall’antichità si conoscessero ottime approssimazioni.

 

I Babilonesi usavano l’approssimazione Approssimazione babilonese per la costante di Pitagora (3 cifre corrette), ma conoscevano anche l’eccellente approssimazione Approssimazione babilonese per la costante di Pitagora, corretta sino alla sesta cifra decimale (trovata su una tavoletta di argilla oggi conservata all’università di Yale).

 

Nei Sulbasutra (scritti in India tra il 200 a.C. e l’800 a.C.), si trova l’approssimazione Approssimazione indiana per la costante di Pitagora.

 

Nel 1600 il matematico cinese Zhu Zaiyu calcolo la costante con 25 cifre decimali di precisione, servendosi di nove abaci.

 

In epoca recente la costante è stata calcolata con grandissima precisione, grazie all’uso di calcolatori elettronici:

nel 1971 Jacques Dutka calcolò 1000082 cifre;

nel 1997 Y. Kanada e D. Takahashi ne calcolarono 137438953444 cifre.

 

Il rapporto tra i lati di un foglio di misura standard A0, A1, etc, incluso il comune foglio A4, è approssimativamente Radice quadrata di 2. Questo permette di dividerlo a metà, ottenendo due fogli delle stesse proporzioni. In effetti le misure ufficiali di un foglio A4, 297 × 210 mm, non sono altro che il triplo del numeratore e denominatore di Approssimazione per la costante di Pitagora, una delle approssimazioni ottenibili tramite i numeri di Pell (5 cifre decimali corrette).

Bibliografia

  • Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

    Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

  • Flannery, David;  The Square Root of 2, New York, Copernicus Book, 2006 -

    Un’introduzione semplice alle sequenze di Pell e alle approssimazioni per la radice quadrata di 2.

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