La funzione ζ di Riemann relativa ai numeri primi P(z) è definita come 
, quindi in modo analogo alla funzione ζ, ma limitando la somma ai soli numeri primi.
La stessa funzione ζ può essere espressa in termini di P(z) e viceversa: 
e 
(J.W.L. Glaisher 1891). P(s) tende a infinito per s tendente a 1, tuttavia se si rimuove il primo termine, l’ultima somma è convergente anche per s = 1: 
, dove B1 è la costante di Mertens.
Per calcolare la funzione con un gran numero di cifre di precisione si può usare la formula 
, dove la prima somma e il prodotto vanno calcolati sui primi fino a un limite scelto in modo da poter troncare opportunamente la somma infinita.
I primi studi sulla funzione si devono a J.W.L. Glaisher (1891).
Alcune formule che coinvolgono la funzione:
, dove C è la costante di Artin e Ln è l’n-esimo numero di Lucas;
;
.
Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione di 
.
Qui trovate le prime 42 cifre decimali di 
(R.J.Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
Qui trovate le prime 50 cifre decimali di 
(R.J.Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
Qui trovate le prime 53 cifre decimali di 
(N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
La figura mostra una parte del grafico della funzione P(x).
La tabella seguente riporta i valori approssimati della funzione per alcuni argomenti interi (Cino Hilliard e Antonio G. Astudillo, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
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n |
P(n) |
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2 |
0.45224742004106549850654336483224793417323134323989242173641893035116502736391087444895754435490685822281 |
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3 |
0.17476263929944353642311331466570670097541212192614928988867201670163158952812958763563420053697256054679 |
|
4 |
0.07699313976424684494261929593315787016204105971484319026493800885921657048756420651033310678539628954203 |
|
5 |
0.03575501748392425713281824253885571113169727672665133169009267482397583427472793136607280647037679508964 |
|
6 |
0.01707008685063651295413367326605939920958594187454424473316336883696973674717243667186035007818062302882 |
|
7 |
0.00828383285613359253512413872944872308918332888530780624464192163865548941100785818431661341819182004328 |
|
8 |
0.00406140536651783056052343914268308052297714451207174100103268868172863040707880440609228280530431344266 |
|
9 |
0.00200446757496245066307358514078311753682292034973857855027559173979372625151997719081355343401244177243 |
|
10 |
0.00099360357443698021785585070014773941630187254528520332055356660098449412493607453980200645920563944370 |
La tabella seguente riporta i valori approssimati della derivata della funzione per alcuni argomenti interi (Richard J. Mathar, 2009).
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n |
P’(n) |
|
2 |
–0.4930911093687644621978262050564912580555881263464682907133271 |
|
3 |
–0.1507575555439504221798365163653429195755011615306893318187976 |
|
4 |
–0.0606076333507700633922309837097133784063828774612598439911277 |
|
5 |
–0.0268386012767983574221875132924501599433301495535582281248198 |
|
6 |
–0.0124590807227999915270277927746899700409113504715758758741093 |
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7 |
–0.0059406890391481961425505928290166090193681895059293510751668 |
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8 |
–0.0028795247087292473913460284238573340649989837616758658410676 |
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9 |
–0.0014104919214245312915541964563081999779016571316934961928365 |
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10 |
–0.0006956784473446204802000701977708415913844863703329838954712 |