La funzione ζ di Riemann relativa ai numeri primi P(z) è definita come 
, quindi in modo analogo alla funzione ζ, ma limitando la somma ai soli numeri primi.
La stessa funzione ζ può essere espressa in termini di P(z) e viceversa: 
e 
(J.W.L. Glaisher 1891). P(s) tende a infinito per s tendente a 1, tuttavia se si rimuove il primo termine, l’ultima somma è convergente anche per s = 1: 
, dove B1 è la costante di Mertens.
Per calcolare la funzione con un gran numero di cifre di precisione si può usare la formula 
, dove la prima somma e il prodotto vanno calcolati sui primi fino a un limite scelto in modo da poter troncare opportunamente la somma infinita.
I primi studi sulla funzione si devono a J.W.L. Glaisher (1891).
Alcune formule che coinvolgono la funzione:
;
, dove C è la costante di Artin e Ln è l’n-esimo numero di Lucas;
;
; per s intero vale la formula 
; una formula più efficiente per il calcolo è 
.
Alle voci frazioni continue e numeri primi si trovano ottime approssimazioni di 
, uguale al limite inferiore per il valore della costante di Erdös – Lebensold e di 
.
Qui trovate le prime 103 cifre decimali di 
(Jean-François Alcover, R.J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione P(x).
La tabella seguente riporta i valori approssimati di P(n) per n da 2 a 39 (Cino Hilliard e Antonio G. Astudillo, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org e Richard J. Mathar, 2009).
|
n |
P(n) |
|
2 |
0.45224742004106549850654336483224793417323134323989242173641893035116502736391087444895754435490685822281 |
|
3 |
0.17476263929944353642311331466570670097541212192614928988867201670163158952812958763563420053697256054679 |
|
4 |
0.07699313976424684494261929593315787016204105971484319026493800885921657048756420651033310678539628954203 |
|
5 |
0.03575501748392425713281824253885571113169727672665133169009267482397583427472793136607280647037679508964 |
|
6 |
0.01707008685063651295413367326605939920958594187454424473316336883696973674717243667186035007818062302882 |
|
7 |
0.00828383285613359253512413872944872308918332888530780624464192163865548941100785818431661341819182004328 |
|
8 |
0.00406140536651783056052343914268308052297714451207174100103268868172863040707880440609228280530431344266 |
|
9 |
0.00200446757496245066307358514078311753682292034973857855027559173979372625151997719081355343401244177243 |
|
10 |
0.00099360357443698021785585070014773941630187254528520332055356660098449412493607453980200645920563944370 |
|
11 |
0.004939472691046549756916217683343987121559397009604952181866074 |
|
12 |
0.002460264700345456795266485921650809279799322679473231921741459 |
|
13 |
0.001226983675278692799054887924314033239147428525577690135256528 |
|
14 |
0.0006124439672546447837750803429987454197282126872378013541885303 |
|
15 |
0.0003058730282327005256755462931371262800130114525389809330765981 |
|
16 |
0.0001528202621933934418080192641189055977466126987760393110788060 |
|
17 |
0.00007637139370645897250904556043939762017569839042162662520251345 |
|
18 |
0.00003817278703174996631227515316311091361624942636382614195748077 |
|
19 |
0.00001908209076926282572186179987969776618145616195068986381165765 |
|
20 |
0.000009539611241036233263528834939770057955700555885822134364992986 |
|
21 |
0.000004769327593684272505083726618818876106041908102543778311286107 |
|
22 |
0.000002384504458767019281263116852015955086787325069914706736138961 |
|
23 |
0.000001192199117531882856160246453383398577108304116591413496750467 |
|
24 |
0.0000005960818549833453297113066655008620131146582480117715598724992 |
|
25 |
0.0000002980350262643865876662659401778145949592778827831139923166297 |
|
26 |
0.0000001490155460631457054345907739442373384026574094003717094826319 |
|
27 |
0.00000007450711734323300780164546124093693349559346148927152517177541 |
|
28 |
0.00000003725334010910506351833912287693071753007133176180958755544001 |
|
29 |
0.00000001862659720043574907522145113353601172883347161316571090677067 |
|
30 |
0.000000009313274315523019206770664589654477590951135917359845054142758 |
|
31 |
0.000000004656629062865372188024756168924550748371110904683071460848803 |
|
32 |
0.000000002328311833134403149136721429290134383956012839353792695549588 |
|
33 |
0.000000001164155017134526496600716286019717301900642951759025845555278 |
|
34 |
0.0000000005820772087563887361296110329279891461135544371461870778050157 |
|
35 |
0.0000000002910385044412396334030528313212481809718543835635609582681388 |
|
36 |
0.0000000001455192189083022590216132905087468529073564045445529854681582 |
|
37 |
0.00000000007275959835004541439158484817671131286009806802799652884873652 |
|
38 |
0.00000000003637979547365416297743239172591421915260411920812352913301657 |
|
39 |
0.00000000001818989650303757224685763903905856620025233007531508321634193 |
Qui trovate le prime 1000 cifre decimali di P(2) (Jason Kimberley, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
.
(R.J. Mathar).
La tabella seguente riporta i valori approssimati di 
per k da 2 a 6 (Richard J. Mathar, 2009).
|
n |
|
|
1 |
0.31571845205389007685108525147370657199059268767872439261370 |
|
2 |
0.139470639611308681803077672937394594285963216485548292900601 |
|
3 |
0.0646081378884568610840336242581546273479300400893390674692107 |
|
4 |
0.0307990601127799353645768912808351277991590439776491610562576 |
|
5 |
0.0149414104078444272503589211881003770331602105485328925740449 |
|
6 |
0.00732763762441199457647551708167392749211019881968761942480213 |
La tabella seguente riporta i valori approssimati di P’(n) per n da 2 a 10 (Richard J. Mathar, 2009).
|
n |
P’(n) |
|
2 |
–0.4930911093687644621978262050564912580555881263464682907133271 |
|
3 |
–0.1507575555439504221798365163653429195755011615306893318187976 |
|
4 |
–0.06060763335077006339223098370971337840638287746125984399112768 |
|
5 |
–0.02683860127679835742218751329245015994333014955355822812481980 |
|
6 |
–0.01245908072279999152702779277468997004091135047157587587410933 |
|
7 |
–0.005940689039148196142550592829016609019368189505929351075166813 |
|
8 |
–0.002879524708729247391346028423857334064998983761675865841067618 |
|
9 |
–0.001410491921424531291554196456308199977901657131693496192836500 |
|
10 |
–0.0006956784473446204802000701977708415913844863703329838954712256 |
|
11 |
–0.0003446864256305149016520798301347221055148509398720732052598028 |
|
12 |
–0.0001712993524462175657532493112138275372004981118241302276420951 |
|
13 |
–0.00008530310916711056635208876017215691972617326615054214472499073 |
|
14 |
–0.00004253630557412291035554757415368617516720893534438843631304558 |
|
15 |
–0.00002122979056274934599669348621302375720453112762226994727150844 |
|
16 |
–0.00001060211861676127903320578231686279299852887328732516230264968 |
|
17 |
–0.000005296802557643848074496697331902062291354582070044729659167083 |
|
18 |
–0.000002646982787802997352263261854182101806956865359404392741570106 |
|
19 |
–0.000001323018648512292735443206851957658773372595611301942028763990 |
|
20 |
–0.0000006613517594172600210891457029052100560435779681754585968634604 |
|
21 |
–0.0000003306233614825208657730023089591286331399889373034673500892396 |
|
22 |
–0.0000001652941753425972669328543237067224505237754606957895309294978 |
|
23 |
–0.00000008264125267365738127779160862943622945349018242909935277495509 |
|
24 |
–0.00000004131868136465068742054546598016395808846430264964223880702300 |
|
25 |
–0.00000002065869236367122379085627896761801003317031762395199472960982 |
|
26 |
–0.00000001032913007669833840610060139473968867069681131430230354135307 |
|
27 |
–0.000000005164493003519525183949097124602884025560927707601929381567114 |
|
28 |
–0.000000002582222490193098373680412778703362364263231350157972835761708 |
|
29 |
–0.000000001291103241249637065884459649285079993129747526229207669548247 |
.
Qui trovate le prime 115 cifre decimali di 
(Robert Gerbicz, Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).
.
Qui trovate le prime 10001 cifre decimali di 
(Jean-François Alcover, R.J. Mathar, D.S. McNeil, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org)
.
Qui trovate le prime 105 cifre decimali di 
(Richard J. Mathar e Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).