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P(z)

Funzioni 

La funzione ζ di Riemann relativa ai numeri primi P(z) è definita come Formula per la definizione della funzione P(z), quindi in modo analogo alla funzione ζ, ma limitando la somma ai soli numeri primi.

La stessa funzione ζ può essere espressa in termini di P(z) e viceversa: Formula per calcolare la funzione ζ tramite la funzione PFormula per calcolare la funzione P tramite la funzione ζ (J.W.L. Glaisher 1891). P(s) tende a infinito per s tendente a 1, tuttavia se si rimuove il primo termine, l’ultima somma è convergente anche per s = 1: Formula che lega la funzione ζ alla costante di Mertens, dove B1 è la costante di Mertens.

 

Per calcolare la funzione con un gran numero di cifre di precisione si può usare la formula Formula per il calcolo della funzione P, dove la prima somma e il prodotto vanno calcolati sui primi fino a un limite scelto in modo da poter troncare opportunamente la somma infinita.

 

I primi studi sulla funzione si devono a J.W.L. Glaisher (1891).

 

Alcune formule che coinvolgono la funzione:

Formula che lega la funzione P alla costante di Artin, dove C è la costante di Artin e Ln è l’n-esimo numero di Lucas;

Formula per la derivata della funzione P;

Formula per l’integrale della funzione P.

 

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione di Costante legata alla funzione P.

Qui trovate le prime 42 cifre decimali di Costante legata alla funzione P (R.J.Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 50 cifre decimali di Costante legata alla funzione P (R.J.Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 53 cifre decimali di Costante legata alla funzione P (N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La figura mostra una parte del grafico della funzione.

Grafico della funzione P

 

La tabella seguente riporta i valori approssimati della funzione per alcuni argomenti interi (Cino Hilliard e Antonio G. Astudillo, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

P(n)

2

0.45224742004106549850654336483224793417323134323989242173641893035116502736391087444895754435490685822281

3

0.17476263929944353642311331466570670097541212192614928988867201670163158952812958763563420053697256054679

4

0.07699313976424684494261929593315787016204105971484319026493800885921657048756420651033310678539628954203

5

0.03575501748392425713281824253885571113169727672665133169009267482397583427472793136607280647037679508964

6

0.01707008685063651295413367326605939920958594187454424473316336883696973674717243667186035007818062302882

7

0.00828383285613359253512413872944872308918332888530780624464192163865548941100785818431661341819182004328

8

0.00406140536651783056052343914268308052297714451207174100103268868172863040707880440609228280530431344266

9

0.00200446757496245066307358514078311753682292034973857855027559173979372625151997719081355343401244177243

10

0.00099360357443698021785585070014773941630187254528520332055356660098449412493607453980200645920563944370

 

La tabella seguente riporta i valori approssimati della derivata della funzione per alcuni argomenti interi (Richard J. Mathar, 2009).

n

P’(n)

2

–0.4930911093687644621978262050564912580555881263464682907133271

3

–0.1507575555439504221798365163653429195755011615306893318187976

4

–0.0606076333507700633922309837097133784063828774612598439911277

5

–0.0268386012767983574221875132924501599433301495535582281248198

6

–0.0124590807227999915270277927746899700409113504715758758741093

7

–0.0059406890391481961425505928290166090193681895059293510751668

8

–0.0028795247087292473913460284238573340649989837616758658410676

9

–0.0014104919214245312915541964563081999779016571316934961928365

10

–0.0006956784473446204802000701977708415913844863703329838954712

 

Vedi anche

Funzione ΞΆ.

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