Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

La funzione ζ di Riemann relativa ai numeri primi P(z) è definita come Formula per la definizione della funzione P(z), quindi in modo analogo alla funzione ζ, ma limitando la somma ai soli numeri primi.

La stessa funzione ζ può essere espressa in termini di P(z) e viceversa: Formula per calcolare la funzione ζ tramite la funzione PFormula per calcolare la funzione P tramite la funzione ζ (J.W.L. Glaisher 1891). P(s) tende a infinito per s tendente a 1, tuttavia se si rimuove il primo termine, l’ultima somma è convergente anche per s = 1: Formula che lega la funzione ζ alla costante di Mertens, dove B1 è la costante di Mertens.

 

Per calcolare la funzione con un gran numero di cifre di precisione si può usare la formula Formula per il calcolo della funzione P, dove la prima somma e il prodotto vanno calcolati sui primi fino a un limite scelto in modo da poter troncare opportunamente la somma infinita.

 

I primi studi sulla funzione si devono a J.W.L. Glaisher (1891).

 

Alcune formule che coinvolgono la funzione:

Formula che lega la funzione P alla costante di Artin, dove C è la costante di Artin e Ln è l’n-esimo numero di Lucas;

Formula per la derivata della funzione P;

Formula per l’integrale della funzione P; per s intero vale la formula Formula per l’integrale della funzione P; una formula più efficiente per il calcolo è Formula per l’integrale della funzione P.

 

Alle voci frazioni continuenumeri primi si trovano ottime approssimazioni di Costante legata alla funzione P, uguale al limite inferiore per il valore della costante di Erdös – Lebensold e di Costante legata alla funzione P.

Qui trovate le prime 103 cifre decimali di Costante legata alla funzione P (Jean-François Alcover, R.J. Mathar, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione P(x).

 

Grafico della funzione P

 

La tabella seguente riporta i valori approssimati di P(n) per n da 2 a 39 (Cino Hilliard e Antonio G. Astudillo, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org e Richard J. Mathar, 2009).

n

P(n)

2

0.45224742004106549850654336483224793417323134323989242173641893035116502736391087444895754435490685822281

3

0.17476263929944353642311331466570670097541212192614928988867201670163158952812958763563420053697256054679

4

0.07699313976424684494261929593315787016204105971484319026493800885921657048756420651033310678539628954203

5

0.03575501748392425713281824253885571113169727672665133169009267482397583427472793136607280647037679508964

6

0.01707008685063651295413367326605939920958594187454424473316336883696973674717243667186035007818062302882

7

0.00828383285613359253512413872944872308918332888530780624464192163865548941100785818431661341819182004328

8

0.00406140536651783056052343914268308052297714451207174100103268868172863040707880440609228280530431344266

9

0.00200446757496245066307358514078311753682292034973857855027559173979372625151997719081355343401244177243

10

0.00099360357443698021785585070014773941630187254528520332055356660098449412493607453980200645920563944370

11

0.004939472691046549756916217683343987121559397009604952181866074

12

0.002460264700345456795266485921650809279799322679473231921741459

13

0.001226983675278692799054887924314033239147428525577690135256528

14

0.0006124439672546447837750803429987454197282126872378013541885303

15

0.0003058730282327005256755462931371262800130114525389809330765981

16

0.0001528202621933934418080192641189055977466126987760393110788060

17

0.00007637139370645897250904556043939762017569839042162662520251345

18

0.00003817278703174996631227515316311091361624942636382614195748077

19

0.00001908209076926282572186179987969776618145616195068986381165765

20

0.000009539611241036233263528834939770057955700555885822134364992986

21

0.000004769327593684272505083726618818876106041908102543778311286107

22

0.000002384504458767019281263116852015955086787325069914706736138961

23

0.000001192199117531882856160246453383398577108304116591413496750467

24

0.0000005960818549833453297113066655008620131146582480117715598724992

25

0.0000002980350262643865876662659401778145949592778827831139923166297

26

0.0000001490155460631457054345907739442373384026574094003717094826319

27

0.00000007450711734323300780164546124093693349559346148927152517177541

28

0.00000003725334010910506351833912287693071753007133176180958755544001

29

0.00000001862659720043574907522145113353601172883347161316571090677067

30

0.000000009313274315523019206770664589654477590951135917359845054142758

31

0.000000004656629062865372188024756168924550748371110904683071460848803

32

0.000000002328311833134403149136721429290134383956012839353792695549588

33

0.000000001164155017134526496600716286019717301900642951759025845555278

34

0.0000000005820772087563887361296110329279891461135544371461870778050157

35

0.0000000002910385044412396334030528313212481809718543835635609582681388

36

0.0000000001455192189083022590216132905087468529073564045445529854681582

37

0.00000000007275959835004541439158484817671131286009806802799652884873652

38

0.00000000003637979547365416297743239172591421915260411920812352913301657

39

0.00000000001818989650303757224685763903905856620025233007531508321634193

 

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali di P(2) (Jason Kimberley, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Costante legata alla funzione P.

Costante legata alla funzione P (R.J. Mathar).

 

La tabella seguente riporta i valori approssimati di Somma di P(n) / n^k per n da 2 a infinito per k da 2 a 6 (Richard J. Mathar, 2009).

n

Somma di P(n) / n^k per n da 2 a infinito

1

0.31571845205389007685108525147370657199059268767872439261370

2

0.139470639611308681803077672937394594285963216485548292900601

3

0.0646081378884568610840336242581546273479300400893390674692107

4

0.0307990601127799353645768912808351277991590439776491610562576

5

0.0149414104078444272503589211881003770331602105485328925740449

6

0.00732763762441199457647551708167392749211019881968761942480213

 

La tabella seguente riporta i valori approssimati di P’(n) per n da 2 a 10 (Richard J. Mathar, 2009).

n

P’(n)

2

–0.4930911093687644621978262050564912580555881263464682907133271

3

–0.1507575555439504221798365163653429195755011615306893318187976

4

–0.06060763335077006339223098370971337840638287746125984399112768

5

–0.02683860127679835742218751329245015994333014955355822812481980

6

–0.01245908072279999152702779277468997004091135047157587587410933

7

–0.005940689039148196142550592829016609019368189505929351075166813

8

–0.002879524708729247391346028423857334064998983761675865841067618

9

–0.001410491921424531291554196456308199977901657131693496192836500

10

–0.0006956784473446204802000701977708415913844863703329838954712256

11

–0.0003446864256305149016520798301347221055148509398720732052598028

12

–0.0001712993524462175657532493112138275372004981118241302276420951

13

–0.00008530310916711056635208876017215691972617326615054214472499073

14

–0.00004253630557412291035554757415368617516720893534438843631304558

15

–0.00002122979056274934599669348621302375720453112762226994727150844

16

–0.00001060211861676127903320578231686279299852887328732516230264968

17

–0.000005296802557643848074496697331902062291354582070044729659167083

18

–0.000002646982787802997352263261854182101806956865359404392741570106

19

–0.000001323018648512292735443206851957658773372595611301942028763990

20

–0.0000006613517594172600210891457029052100560435779681754585968634604

21

–0.0000003306233614825208657730023089591286331399889373034673500892396

22

–0.0000001652941753425972669328543237067224505237754606957895309294978

23

–0.00000008264125267365738127779160862943622945349018242909935277495509

24

–0.00000004131868136465068742054546598016395808846430264964223880702300

25

–0.00000002065869236367122379085627896761801003317031762395199472960982

26

–0.00000001032913007669833840610060139473968867069681131430230354135307

27

–0.000000005164493003519525183949097124602884025560927707601929381567114

28

–0.000000002582222490193098373680412778703362364263231350157972835761708

29

–0.000000001291103241249637065884459649285079993129747526229207669548247

 

Somma su tutti i primi p di 1 / (p – 1)^2.

Qui trovate le prime 115 cifre decimali di Somma su tutti i primi p di 1 / (p – 1)^2 (Robert Gerbicz, Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Somma su tutti i primi p di 1 / (p * (p – 1)).

Qui trovate le prime 10001 cifre decimali di Somma su tutti i primi p di 1 / (p * (p – 1)) (Jean-François Alcover, R.J. Mathar, D.S. McNeil, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org)

 

Somma su tutti i primi p di 1 / (p^2 * (p – 1)).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali di Somma su tutti i primi p di 1 / (p^2 * (p – 1)) (Richard J. Mathar e Jean-François Alcover, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

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