Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Stephen Ainley chiama “numeri semi-c” i numeri naturali tali che metà dei numeri da 1 fino a essi contiene almeno una cifra c. Per esempio, 16 è semi-1, perché dei numeri fino a 16 8 non contengono la cifra 1 (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) e 8 la contengono (1, 10, 11, 12, 13, 14, 15 e 16).

 

I numeri semi-c sono finiti, in qualsiasi base e per qualsiasi valore di c. Per dimostrarlo, in base 10, consideriamo i numeri sino a 10n – 1, includendo lo zero per semplificare i calcoli: un decimo conterrà la cifra 1 al posto delle unità, un decimo al posto delle decine e così via. I numeri di n cifre che non contengono la cifra 1 sono quindi (9 / 10)^n, dove ogni fattore 9 / 10 serve per tenere conto di una delle posizioni delle cifre. Al crescere di n questo valore diviene inferiore a 1 / 2 e, sebbene occasionalmente possa aumentare un poco, continua a decrescere.

In una base b diversa da 10 la dimostrazione è analoga, con (b – 1) / b al posto di 9 / 10; con un numero di cifre abbastanza grande, i numeri che non contengono una cifra fissata diventano una frazione sempre più piccola del totale.

 

La tabelle seguenti riportano i numeri semi-c minori di 109 nelle basi da 1 a 20. L’elenco è sicuramente completo per le basi fino a 10.

 

La tabella seguente riporta tutti i numeri semi-c in base 10.

Cifra

Numeri semi-c

0

10761678, 14958584, 14960718, 14961734, 15013206, 15588832, 15590574, 15591958, 15591960, 15592032, 15592228, 15592230, 15603696, 15633494, 15633504, 15633516, 16076088, 16263742, 20327616

1

2, 16, 24, 160, 270, 272, 1456, 3398, 3418, 3420, 3422, 13120, 44686, 118096, 674934, 1062880

2

2, 2914, 3150, 3152, 3238, 3398, 26242, 41558, 42280, 44686, 236194, 671784, 672136, 674910, 674912, 674926, 674934, 1299076, 1305158, 1305232, 1305406, 1325320, 1346694, 2125762

3

39364, 41288, 41308, 41558, 43738, 44686, 354292, 671782, 671784, 673594, 674910, 3188644

4

472390, 630226, 642976, 671782, 671784, 4251526

5

590488, 630224, 630226, 656098, 671782, 5314408

6

6377290

7

7440172, 15633516, 15633518, 15707032, 16264012, 16271278, 16305300, 16307728, 16308426, 16308428, 16769914, 16935524, 16937584, 16938652, 16938718, 16938922, 16979866, 16980210, 17006110

8

8503054, 15633516, 15633518, 15825130, 16263742, 16263826, 16264012, 16284400, 16305276, 16305278, 16305280, 16305300, 16888012, 16935524, 18068992

9

9565936, 15588832, 15588934, 15633516, 15943228, 16263742, 16263988, 16264012, 16297522, 16305276, 16305298, 16305300, 19131874

 

Da notare che alcuni interi sono semi-numeri rispetto a più cifre, sempre nella stessa base; per esempio, in base 10:

  • 2, 3398 e 674934 sono semi-1 e semi-2;

  • 41558 e 674910 sono semi-2 e semi-3;

  • 44686 è semi-1, semi-2 e semi-3:

  • 630226 è semi-4 e semi-5;

  • 671782 è semi-3, semi-4 e semi-5;

  • 671784 è semi-2 semi-3 e semi-4;

  • 15588832 è semi-0 e semi-9;

  • 15633516 è semi-0, semi-7, semi-8 e semi-9;

  • 15633518 e 16935524 sono semi-7 e semi-8;

  • 16263742 è semi-0, semi-8 e semi-9;

  • 16264012 e 16305300 sono semi-7, semi-8 e semi-9;

  • 16305276 è semi-8 e semi-9.

 

Alcuni numeri sono semi-c in più basi; in particolare:

  • 2 è semi-1 in tutte le basi maggiori di 2;
  • 2 è semi-2 in tutte le basi maggiori di 2.

 

Considerando tutte le basi, i semi-numeri sono infiniti, perché 2n – 4 è semi-1 in base n, per n > 3, di conseguenza tutti i numeri pari sono semi-c in almeno una base, per almeno un valore di c

Bibliografia

  • Ainley, Stephen;  Mathematical Puzzles, New York, Prentice Hall, 1983 -

    Un libro di problemi matematici non troppo difficili. La lista dei semi-numeri è però incompleta.

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