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Littlewood (polinomi di)

Polinomi 

Si chiamano “polinomi di Littlewood” i polinomi in una variabile con tutti i coefficienti uguali a ±1. Prendono il nome da John Edensor Littlewood (Rochester, Inghilterra, 9/6/1885 – Cambridge, Inghilterra, 6/9/1977), che li studiò negli anni ’50.

 

La definizione implica che nessuno dei termini tra il grado zero e il grado massimo manchi, quindi, per esempio, x4x3 + x2x + 1 è un polinomio di Littlewood, mentre non lo sono x4x3x + 1 (manca il termine di secondo grado) e x4x3 + x2x (manca il termine di grado zero).

 

Il problema posto da Littlewood e tuttora insoluto è la determinazione di due costanti c1 e c2, tali che esistano infiniti polinomi di Littlewood P(z) di grado n, per i quali Condizione soddisfatta da infiniti polinomi di Littlewood, per z complesso e |z| = 1.

Per quanto riguarda il limite superiore, i polinomi di Shapiro forniscono una soluzione con c(2) = sqrt(2), per n uguale a una potenza di 2, mentre non è nota alcuna sequenza del genere per il limite inferiore. Sono però noti vari polinomi, di grado fino a 25, che soddisfano il limite inferiore, con c1 = 0.6.

 

J. Spencer dimostrò nel 1985 che per c2 fissato e abbastanza grande, il numero di polinomi che soddisfa il limite superiore cresce esponenzialmente al crescere di n.

 

Un altro problema relativo a questi polinomi che è stato particolarmente studiato è quello del modulo delle radici, soprattutto per quelli con caratteristiche particolari.

 

Le radici di un polinomio di Littlewood hanno modulo minore di 2.

 

Un polinomio in una variabile di grado n, esprimibile come Forma generale di un polinomio di grado n, si dice:

  • simmetrico, se i coefficienti soddisfano la relazione ak = ank, per ogni valore di k, ossia sono uguali a quelli simmetrici rispetto al centro;

  • antisimmetrico, se i coefficienti soddisfano la relazione ak = –ank, per ogni valore di k, ossia sono di segno opposto rispetto a quelli simmetrici rispetto al centro;

  • semi-simmetrico, se è di grado n = 2m + 1 dispari e i coefficienti soddisfano la relazione am + k = (–1)kamk, per ogni valore di k, ossia sono alternativamente di segno uguale e opposto rispetto a quelli simmetrici rispetto al centro.

Per esempio:

  • il polinomio di Littlewood z7z6 + z5 + z4 + z3 + z2z + 1 è simmetrico;

  • il polinomio di Littlewood z7z6 + z5 + z4z3z2 + z – 1 è simmetrico;

  • il polinomio di Littlewood z7 + z6 + z5 + z4 + z3z2 + z – 1 è semi-simmetrico.

 

Idris David Mercer dimostrò nel 2006 che un polinomio di Littlewood semi-simmetrico non ha radici di modulo uguale a 1.

Viceversa un polinomio simmetrico (non necessariamente di Littlewood) di grado 2m pari e tale che |am| ≤ 2|a0| ha almeno una radice di modulo uguale a 1.

P. Lakatos e L. Losonczy dimostrarono che un polinomio simmetrico di grado n e tale che Condizione che deve essere soddisfatta dal coefficiente del termine di grado n grado n ha tutte le radici con modulo 1.

 

Un polinomio di Littlewood simmetrico:

  • ha almeno una radice con modulo uguale a 1 (T. Erdélyi e I.D. Mercer);

  • se il grado è dispari e almeno uguale a 3, ha almeno 3 radici con modulo uguale a 1 (K. Mukunda);

  • se il grado è dispari e almeno uguale a 7, ha almeno 5 radici con modulo uguale a 1 (Paulius Drungilas, 2007);

  • se il grado è pari e almeno uguale a 14, ha almeno 4 radici con modulo uguale a 1 (Paulius Drungilas, 2007).

 

P. Borwein, T. Erdélyi R. Ferguson e R. Lockhart dimostrarono che in media almeno n / 4 delle radici di un polinomio di Littlewood simmetrico hanno modulo uguale a 1.

 

P. Borwein, T. Erdélyi e F. Littmann dimostrarono che ogni polinomio di grado n con |an| = |a0| = 1 e tutti gli altri coefficienti non superiori a 1 in valore assoluto (e quindi in particolare ogni polinomio di Littlewood di grado n), ha almeno 8 * sqrt(n) * log(n) radici non superiori in modulo a Valore massimo del modulo di una parte delle radici.

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