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Salem (congetture sui numeri di)

Algebra  Congetture 

Vi sono alcune congetture che riguardano i numeri di Salem; riporto le tre principali.

 

La prima è che il minimo numero di Salem sia S1, una delle radici dell’equazione, detta polinomio di Lehmer, x10 + x9x7x6x5x4x3 + x + 1 = 0.

V. Flammang, M. Grandcolas e Georges Rhin dimostrarono nel 1997 che non vi sono numeri di Salem minori di S1 di grado non superiore a 40; Michael J. Mossinghoff, Georges e Qiang Wu dimostrarono nel 2008 che non ve ne sono di grado non superiore a 44.

Nel 2017 Jean-Louis Verger-Gaugry dimostrò che il minimo numero di Salem è almeno 1 / θ, dove θ è la radice dell’equazione x31 + x – 1 = 0 nell’intervallo (0 .. 1) e vale circa 0.9212772254.

 

La seconda, avanzata da David W. Boyd nel 1977, è una versione più forte della prima, ossia che i primi tre numeri di Salem noti siano effettivamente i minimi tre numeri di Salem.

 

La terza, sempre di Boyd nel 1977, è che l’unione dei numeri di Salem e dei numeri di Pisot – Vijayaraghavan sia un insieme chiuso.

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