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Schröder (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di Schröder sono una sorta di generalizzazione dei numeri di Schröder.

Come per i numeri di Schröder, esistono due versioni: i “grandi polinomi di Schröder”, detti anche semplicemente “polinomi di Schröder” e i “piccoli polinomi di Schröder”.

 

I grandi polinomi di Schröder Sn(x) sono polinomi di grado n a coefficienti interi positivi.

I piccoli polinomi di Schröder sn(x) sono polinomi di grado n – 1 a coefficienti interi positivi.

 

I polinomi di Schröder sono legati ai numeri di Schröder dalle relazioni Sn = Sn(1) e sn = sn(1).

 

Alcune formule per il calcolo dei polinomi di Schröder:

Sn(x) = (1 + x)sn(x) per n > 0;

Formula per il calcolo dei grandi polinomi di Schröder;

Formula per il calcolo dei grandi polinomi di Schröder, dove Cn è un numero di Catalan;

Formula per il calcolo dei piccoli polinomi di Schröder, per n > 0.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi grandi polinomi di Schröder.

 

Grafico dei primi grandi polinomi di Schröder

 

 

La tabella seguente riporta i primi grandi polinomi di Schröder.

n

Sn(x)

0

1

1

x + 1

2

x2 + 3x + 2

3

x3 + 6x2 + 10x + 5

4

x4 + 10x3 + 30x2 + 35x + 14

5

x5 + 15x4 + 70x3 + 140x2 + 126x + 42

6

x6 + 21x5 + 140x4 + 420x3 + 630x2 + 462x + 132

7

x7 + 28x6 + 252x5 + 1050x4 + 2310x3 + 2772x2 + 1716x + 429

8

x8 + 36x7 + 420x6 + 2310x5 + 6930x4 + 12012x3 + 12012x2 + 6435x + 1430

9

x9 + 45x8 + 660x7 + 4620x6 + 18018x5 + 42042x4 + 60060x3 + 51480x2 + 24310x + 4862

10

x10 + 55x9 + 990x8 + 8580x7 + 42042x6 + 126126x5 + 240240x4 + 291720x3 + 218790x2 + 92378x + 16796

11

x11 + 66x10 + 1430x9 + 15015x8 + 90090x7 + 336336x6 + 816816x5 + 1312740x4 + 1385670x3 + 923780x2 + 352716x + 58786

12

x12 + 78x11 + 2002x10 + 25025x9 + 180180x8 + 816816x7 + 2450448x6 + 4988412x5 + 6928350x4 + 6466460x3 + 3879876x2 + 1352078x + 208012

13

x13 + 91x12 + 2730x11 + 40040x10 + 340340x9 + 1837836x8 + 6651216x7 + 16628040x6 + 29099070x5 + 35565530x4 + 29745716x3 + 16224936x2 + 5200300x + 742900

14

x14 + 105x13 + 3640x12 + 61880x11 + 612612x10 + 3879876x9 + 16628040x8 + 49884120x7 + 106696590x6 + 163601438x5 + 178474296x4 + 135207800x3 + 67603900x2 + 20058300x + 2674440

15

x15 + 120x14 + 4760x13 + 92820x12 + 1058148x11 + 7759752x10 + 38798760x9 + 137181330x8 + 350574510x7 + 654405752x6 + 892371480x5 + 878850700x4 + 608435100x3 + 280816200x2 + 77558760x + 9694845

16

x16 + 136x15 + 6120x14 + 135660x13 + 1763580x12 + 14814072x11 + 85357272x10 + 350574510x9 + 1051723530x8 + 2337163400x7 + 3866943080x6 + 4745793780x5 + 4259045700x4 + 2714556600x3 + 1163381400x2 + 300540195x + 35357670

17

x17 + 153x16 + 7752x15 + 193800x14 + 2848860x13 + 27159132x12 + 178474296x11 + 841378824x10 + 2921454250x9 + 7595781050x8 + 14915351880x7 + 22147037640x6 + 24702465060x5 + 20359174500x4 + 12021607800x3 + 4808643120x2 + 1166803110x + 129644790

18

x18 + 171x17 + 9690x16 + 271320x15 + 4476780x14 + 48050772x13 + 356948592x12 + 1912224600x11 + 7595781050x10 + 22787343150x9 + 52203731580x8 + 91752013080x7 + 123512325300x6 + 126226881900x5 + 96172862400x4 + 52895074320x3 + 19835652870x2 + 4537567650x + 477638700

19

x19 + 190x18 + 11970x17 + 373065x16 + 6864396x15 + 82372752x14 + 686439600x13 + 4143153300x12 + 18644189850x11 + 63804560820x10 + 168212023980x9 + 344070049050x8 + 546983154900x7 + 673210036800x6 + 634740891840x5 + 449608131720x4 + 231415950150x3 + 81676217700x2 + 17672631900x + 1767263190

20

x20 + 210x19 + 14630x18 + 504735x17 + 10296594x16 + 137287920x15 + 1274816400x14 + 8605010700x13 + 43503109650x12 + 168212023980x11 + 504636071940x10 + 1185130168950x9 + 2187932619600x8 + 3173704459200x7 + 3596865053760x6 + 3147256922040x5 + 2082743551350x4 + 1007340018300x3 + 335780006100x2 + 68923264410x + 6564120420

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi piccoli polinomi di Schröder.

 

Grafico dei primi piccoli polinomi di Schröder

 

 

La tabella seguente riporta i primi piccoli polinomi di Schröder.

n

Sn(x)

0

1

1

1

2

x + 2

3

x2 + 5x + 5

4

x3 + 9x2 + 21x + 14

5

x4 + 14x3 + 56x2 + 84x + 42

6

x5 + 20x4 + 120x3 + 300x2 + 330x + 132

7

x6 + 27x5 + 225x4 + 825x3 + 1485x2 + 1287x + 429

8

x7 + 35x6 + 385x5 + 1925x4 + 5005x3 + 7007x2 + 5005x + 1430

9

x8 + 44x7 + 616x6 + 4004x5 + 14014x4 + 28028x3 + 32032x2 + 19448x + 4862

10

x9 + 54x8 + 936x7 + 7644x6 + 34398x5 + 91728x4 + 148512x3 + 143208x2 + 75582x + 16796

11

x10 + 65x9 + 1365x8 + 13650x7 + 76440x6 + 259896x5 + 556920x4 + 755820x3 + 629850x2 + 293930x + 58786

12

x11 + 77x10 + 1925x9 + 23100x8 + 157080x7 + 659736x6 + 1790712x5 + 3197700x4 + 3730650x3 + 2735810x2 + 1144066x + 208012

13

x12 + 90x11 + 2640x10 + 37400x9 + 302940x8 + 1534896x7 + 5116320x6 + 11511720x5 + 17587350x4 + 17978180x3 + 11767536x2 + 4457400x + 742900

14

x13 + 104x12 + 3536x11 + 58344x10 + 554268x9 + 3325608x8 + 13302432x7 + 36581688x6 + 70114902x5 + 93486536x4 + 84987760x3 + 50220040x2 + 17383860x + 2674440

15

x14 + 119x13 + 4641x12 + 88179x11 + 969969x10 + 6789783x9 + 32008977x8 + 105172353x7 + 245402157x6 + 409003595x5 + 483367885x4 + 395482815x3 + 212952285x2 + 67863915x + 9694845

16

x15 + 135x14 + 5985x13 + 129675x12 + 1633905x11 + 13180167x10 + 72177105x9 + 278397405x8 + 773326125x7 + 1563837275x6 + 2303105805x5 + 2442687975x4 + 1816357725x3 + 898198875x2 + 265182525x + 35357670

17

x16 + 152x15 + 7600x14 + 186200x13 + 2662660x12 + 24496472x11 + 153977824x10 + 687401000x9 + 2234053250x8 + 5361727800x7 + 9553624080x6 + 12593413560x5 + 12109051500x4 + 8250123000x3 + 3771484800x2 + 1037158320x + 129644790

18

x17 + 170x16 + 9520x15 + 261800x14 + 4214980x13 + 43835792x12 + 313112800x11 + 1599111800x10 + 5996669250x9 + 16790673900x8 + 35413057680x7 + 56338955400x6 + 67173369900x5 + 59053512000x4 + 37119350400x3 + 15775723920x2 + 4059928950x + 477638700

19

x18 + 189x17 + 11781x16 + 361284x15 + 6503112x14 + 75869640x13 + 610569960x12 + 3532583340x11 + 15111606510x10 + 48692954310x9 + 119519069670x8 + 224550979380x7 + 322432175520x6 + 350777861280x5 + 283963030560x4 + 165645101160x3 + 65770848990x2 + 15905368710x + 1767263190

20

x19 + 209x18 + 14421x17 + 490314x16 + 9806280x15 + 127481640x14 + 1147334760x13 + 7457675940x12 + 36045433710x11 + 132166590270x10 + 372469481670x9 + 812660687280x8 + 1375271932320x7 + 1798432526880x6 + 1798432526880x5 + 1348824395160x4 + 733919156190x3 + 273420862110x2 + 62359143990x + 6564120420

 

Vedi anche

Numeri di Schröder.

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