Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Segmentati (numeri)

Sequenze 

Se scriviamo i numeri naturali a partire da 1 in ordine crescente, escludendo però quelli che sono somma di un qualsiasi insieme di numeri consecutivi già scritti, otteniamo la sequenza 1, 2, 4, 5, 8, 10, 14 ..., dalla quale, per esempio, è stato escluso 9, perché somma di 4 e 5, e 11 perché somma di 2, 4 e 5.

I numeri così ottenuti si dicono “numeri segmentati” o “numeri primi di misura”.

 

I numeri segmentati inferiori a 100 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 14, 15, 16, 21, 22, 25, 26, 28, 33, 34, 35, 36, 38, 40, 42, 46, 48, 49, 50, 53, 57, 60, 62, 64, 65, 70, 77, 80, 81, 83, 85, 86, 90, 91, 92.

Qui trovate i numeri segmentati minori di 106 (1.4 MByte).

 

Non si conosce alcuna regola semplice per determinare se un numero appartenga o no alla sequenza, né una stima della densità asintotica dei numeri che la formano.

Alcuni esperti hanno suggerito che il numero S(n) di numeri segmentati minori di n cresca come n / log(n); propongo una stima leggermente diversa, basata sui dati sperimentali disponibili, vale a dire Limite asintotico per la velocità di crescita del numero di numeri segmentati non superiori a n, con C costante vicina a 0.314.

La tabella seguente mostra S(n) per n = 10k e l’accordo con la stima, per k fino a 9 (M. Fiorentini, 2014).

k

S(10k)

Stima del numero di numeri segmentati non superiori a n

Rapporto tra il numero di numeri segmentati non superiori a n e la stima

0

1

-

-

1

6

4.9685

1.2076152748

2

42

39.8938

1.0527938863

3

345

324.6561

1.0626629957

4

2810

2747.2674

1.0228345358

5

24110

23916.3396

1.0206411332

6

215081

212499.7047

1.0121472887

7

1946900

1917064.3116

1.0155632173

8

17644282

17499212.0635

1.0082900839

9

161419067

161232165.2810

1.0011592086

 

Se invece si escludono i numeri uguali alla somma di due qualsiasi numeri differenti già scritti, otteniamo una sequenza diversa, ma molto più semplice, perché formata da 2 e dagli interi della forma 3k + 1; in questo caso i numeri inferiori a 100 sono: 1, 2, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64, 67, 70, 73, 76, 79, 82, 85, 88, 91, 94, 97.

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