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Ipotesi di Riemann

Analisi  Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Affermazioni equivalenti all’ipotesi di Riemann

Il grande problema irrisolto relativo alla funzione ζ è se sia vera o meno la congettura proposta da Riemann nel 1859, ovvero se tutti gli zeri non banali abbiano parte reale uguale a Un mezzo. Gli zeri banali sono quelli corrispondenti a interi negativi pari, per i quali il termine Termine con la funzione seno nella formula di Eulero nella formula di Eulero si annulla.

 

In realtà Riemann propose sei congetture sulla funzione ζ, ma le prime cinque vennero dimostrate vere in poco tempo; quella rimasta è quindi diventata “la” congettura di Riemann, più nota come “ipotesi di Riemann”.

 

Per molto tempo si è creduto che l’ipotesi fosse nata da una felice intuizione del grande matematico, ma un esame delle sue carte da parte di Carl Ludwig Siegel rivelò che Riemann aveva anche calcolato i primi zeri con varie cifre decimali di precisione.

 

Riemann stabilì un collegamento tra i numeri reali e gli interi, e in particolare i numeri primi, tramite la funzione ζ, e trovò una serie che permette in teoria il calcolo esatto di π(n), migliorando l’approssimazione di Gauss: Approssimazione di Gauss per la funzione π (v. funzione J), dove l’ultima somma va calcolata su tutti gli (infiniti) zeri non banali della funzione ζ. La dimostrazione dipendeva però dal fatto che tutti gli zeri avessero parte reale uguale a Un mezzo. Riemann ne era convinto, ma non riusci a provarlo, né vi riuscirono molti altri dopo di lui.

 

Da allora centinaia di teoremi sono stati dimostrati supponendo vera la congettura, ritenuta vera da praticamente tutti gli esperti del settore e tanto plausibile da venir elevata al rango di “ipotesi”, ma per i puristi si tratta di un castello costruito sulle sabbie mobili, finché l’ipotesi non sarà dimostrata. Solo per pochi di tali teoremi è stata trovata una dimostrazione che prescinde dall’ipotesi di Riemann e questo spiega perché sia tanto famosa da venir elencata tra i grandi problemi del XX secolo da Hilbert, tra i grandi problemi del XXI secolo da Steven Smale e tra i 7 problemi del millennio (con annesso cospicuo premio) selezionati dal Clay Mathematics Institute: si tratta del più importante problema insoluto della matematica.

 

Da notare che esistono alcune interessanti dimostrazioni, come quella di Littlewood sulla differenza π(x) – Li(x) (v. funzione π) e quella di Nicolas sui valori minimi di φ(n), (v. funzione φ), che sono state ottenute prima supponendo vera l’ipotesi di Riemann, poi supponendola falsa. Questi teoremi sono pertanto indipendenti dalla verità dell’ipotesi.

 

Il primo approccio al problema fu naturalmente calcolare il maggior numero possibile di zeri, a caccia di un’eccezione, tuttavia non essendo il compito molto agevole, in assenza di efficienti dispositivi di calcolo, passò quasi mezzo secolo prima che qualcuno si cimentasse nell’impresa.

Riemann non pubblicò i risultati dei suoi calcoli, quindi si considera come pionere di questa ricerca J. Gram, che nel 1903 calcolò i primi 15 zeri e dimostrò che tutti gli zeri con parte immaginaria minore di 50 (in valore assoluto) sono sulla retta Equazione della retta critica, detta “retta critica”.

Nel 1914 R.J. Backlund ne calcolò 79 e quattro anni dopo arrivò a 200, poi altri continuarono a calcolare zeri, cercandone qualcuno che contraddicesse l’ipotesi.

Un grande salto fu compiuto con l’introduzione dei calcolatori elettronici:

  • J. van de Lune, H.J.J. te Riele, e D.T. Winter nel 1986 calcolarono 1500000001 zeri, inclusi tutti quelli con parte immaginaria minore in valore assoluto di 545439823, usando 1500 ore di calcolo di grandi elaboratori;

  • nel 2001 J. van de Lune calcolò i primi 1010 zeri;

  • nel 2002 S. Wedeniwski ne calcolò 250 miliardi (tutti quelli con parte immaginaria inferiore a 70925843233.448), usando oltre 10000 calcolatori;

  • X. Gourdon e P. Demichel arrivarono a 1013 zeri nel 2004, tutti quelli con parte immaginaria inferiore a 2.4 ∙ 1013;

  • P. Demichel arrivò a 1014 zeri nel 2004;

  • nel 2011 D. Platt dimostrò che tutti gli zeri con parte immaginaria minore in valore assoluto di 30610046000 si trovano sulla retta critica.

In tutti questi calcoli non furono mai trovati zeri al di fuori della retta critica o doppi.

Un’iniziativa in rete per il calcolo degli zeri (Zetagrid) produsse tra il 2001 e il 2005 centinaia di miliardi di zeri e informazioni statistiche sulla loro distribuzione, sempre senza trovare un singolo zero fuori posto.

 

Il risultato è un’impressionante mole di dati “empirici” a sostegno dell’ipotesi, che però non possono costituire una dimostrazione.

 

A caccia di informazioni sulla loro distribuzione, A. Odlyzko calcolò la posizione di parecchi zeri con elevata precisione, in particolare i primi 100 con 1000 cifre decimali (v. anche costante di de Bruijn – Newman).

 

Sulla distribuzione degli zeri abbiamo più congetture, che dati certi.

 

Riemann suppose anche che la densità degli zeri intorno a Punto sulla retta critica tenda a Densità degli zeri intorno a un punto sulla retta critica, ma anche questa congettura è ben lungi dall’essere provata (v. congettura di Riemann sugli zeri della funzione ζ).

 

Hugh Montgomery, analizzando lunghi elenchi di zeri, propose che la differenza media tra zeri consecutivi intorno all’n-esimo zero sia Differenza media tra gli zeri intorno al'n-esimo, che Dyson notò essere uguale alla correlazione tra coppie di autovalori di certe matrici casuali, utilizzate nella meccanica quantistica (v. congettura di Montgomery sugli zeri della funzione ζ).

 

La tabella seguente mostra la parte immaginaria (approssimata) dei primi zeri della funzione.

14.135

21.022

25.011

30.425

32.935

37.586

40.919

43.327

48.005

49.774

52.970

56.446

59.347

60.833

65.113

67.080

69.546

72.067

75.705

77.145

 

Qui trovate la parte immaginaria dei primi 100000 zeri con 9 cifre decimali (Andrew Odlyzko) (1.5 Mbyte) e qui quella dei primi 100 con 1000 cifre decimali (Andrew Odlyzko).

 

La somma dei reciproci degli zeri della funzione ζ è Somma dei reciproci degli zeri.

 

Un secondo approccio è cercare di dimostrare qualche proprietà degli zeri, nella speranza di arrivare a proprietà tanto stringenti da collocarli tutti sulla retta critica.

 

Il primo importante progresso fu compiuto da G. Hardy, che nel 1914 dimostrò che:

  • tutti gli zeri non banali hanno parte reale compresa tra 0 e 1;

  • gli zeri sono simmetrici rispetto all’asse x (ossia che se la funzione si annulla per un argomento, si annulla anche per il suo coniugato);

  • gli zeri sono simmetrici rispetto alla retta critica;

  • esistono infiniti zeri sulla retta critica.

La dimostrazione implica che se uno zero si discostasse dalla retta, ve ne sarebbero quattro, ai vertici di un rettangolo.

 

Nel 1921 Hardy e Littlewood dimostrarono che vi sono almeno Ky zeri sulla retta con parte immaginaria minore di y, per una costante positiva K. In seguito fu dimostrato che il numero di zeri sulla retta critica con parte immaginaria tra 0 e y tende a y / (2 * π) * log(y / (2 * π)).

Selberg nel 1942 dimostrò che questi rappresentano una frazione del totale degli zeri.

Nel 1974 N. Levinson dimostrò che almeno Un terzo degli zeri stanno sulla retta e J.B. Conrey nel 1989 aumentò la frazione ad almeno Due quinti.

 

Siamo ancora molto lontani anche solo dallo stabilire che le eventuali eccezioni (che nessuno crede possano esistere) siano una frazione trascurabile o addirittura in numero finito.

 

Un approccio simile è stringere sempre più la zona nella quale possono trovarsi gli zeri intorno alla retta critica.

 

Il primo passo in questa direzione fu compiuto dimostrando il teorema dei numeri primi, che equivale all’affermazione che non vi sono zeri con parte reale uguale a 1.

De la Vallée-Poussin dimostrò nel 1899 che se x + it è uno zero, Distanza minima degli zeri dalla retta x=1 per una costante C, quindi gli zeri non possono essere troppo vicini alla retta Re(z) = 1.

H. Bohr e E. Landau dimostrarono nel 1914 che per ogni ε > 0 al massimo una frazione infinitamente piccola degli zeri si trova a distanza superiore a ε dalla retta critica.

Kevin Ford dimostrò che la funzione non può annullarsi se |t| ≥ 3 e Massima parte reale di uno zero.

 

Y. Cheng dimostrò nel 2010 che per s ≥ 5 / 8 e t ≥ ee18 ≈ 0.1897931174 • 1028515763 il numero di zeri con parte reale maggiore di s e parte immaginaria non superiore a t non supera 453472.54 * t^(3 / 8 * (1 – s)) * log(t)^5. Habiba Kadiri dimostrò nel 2014 che per s ≥ 0.55 il numero di zeri non supera b1(tH) + b2tH + b3, dove 1000 ≤ H ≤ 30610046000 e b1, b2 e b3 sono costanti che dipendono da s.

La tabella seguente riporta alcuni valori.

s

H

b1

b2

b3

0.6

19399

4.2288

2.2841

333

0.65

40105

2.4361

1.7945

262

0.7

91470

1.4934

1.4609

213

0.75

169119

1.0031

1.1442

167

0.8

288853

0.7269

0.9176

134

0.85

435955

0.5846

0.7862

115

0.9

822142

0.4421

0.6443

95

0.95

1456079

0.3612

0.5596

82

 

L’ipotesi di Riemann implica alcune conseguenze sulla velocità di crescita della funzione ζ in altre regioni del piano complesso:

Limiti asintotici per il massimo valore della funzione ζ;

Limiti asintotici per il massimo valore del reciproco della funzione ζ.

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