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Scavo della trincea (costante dello)

Geometria 

Il problema dello scavo della trincea consiste nel determinare la minima lunghezza di una trincea da scavare per trovare una conduttura rettilinea sotterranea, che passi a distanza unitaria da un punto di riferimento.

 

J. Mycielski e P. Pedersen dimostrarono nel 1984 che il minimo scavo continuo e senza ramificazioni è quello mostrato in azzurro nella figura, lungo π + 2 ≈ 5.1415926536.

 

Minimo scavo continuo senza ramificazioni

 

 

Lo scavo può però essere costituito da tratti disgiunti. V. Faber e J. Mycielski trovarono nel 1986 la configurazione ad “arco e freccia” mostrata nella figura.

 

Scavo ad arco e freccia

 

Gli angoli α e β si ricavano tramite il sistema di equazioni Equazione per il calcolo di α e β, Equazione per il calcolo di α e β, che risolto dà α ≈ 1.2865112676, β ≈ 1.1910478286, mentre la lunghezza dello scavo è Lunghezza dello scavo.

In seguito venne scoperta la combinazione di arco e due frecce, mostrata nella figura, con una lunghezza di circa 4.7799891547.

 

Scavo ad arco e due frecce

 

 

Non si sa se sia possibile far di meglio, eventualmente aggiungendo altre “frecce”. H.T. Croft dimostrò nel 1969 che una lunghezza pari a π è comunque necessaria e H.G. Egglestone dimostrò nel 1982 che con uno scavo connesso, anche ramificato, la lunghezza minima resta π + 2.

 

La costante dello scavo della trincea è la minima lunghezza dello scavo necessaria ed è anche detta “costante del rivelatore di raggio”, perché il problema equivale a cercare la minima lunghezza di un rivelatore capace di scoprire un raggio rettilineo, proveniente da direzione ignota, che passi entro una distanza unitaria da un punto dato.

 

Se il cavo va ricercato in un’area quadrata di lato unitario, il minimo scavo connesso è l’albero di Steiner che connette i vertici, mostrato nella figura, lungo Lunghezza dell’albero di Steiner.

 

Albero di Steiner che connette i vertici di un quadrato

 

 

Per scavi formati da parti separate la lunghezza minima scende a Lunghezza dello scavo, col tracciato mostrato nella figura.

 

Scavo di lunghezza minima

 

Non sono riuscito a trovare lavori sull’ovvia generalizzazione del problema in 3 dimensioni, che si può esprimere in questi termini: qual è la minima superficie che intercetti qualsiasi retta passante a distanza non superiore a 1 da un punto fissato?

 

Ci sono due figure, che potrebbero essere le minime connesse, entrambi con superficie 4π ≈ 12.5663706144: la sfera di raggio 1 e la semisfera sormontata da un cilindro, mostrata nella figura.

 

Superficie minima

 

 

Esistono anche infinite figure non connesse con la stessa superficie: tagliando il cilindro con un piano perpendicolare all’asse, si può sostituire la sezione superiore del cilindro con una calotta sferica, ottenendo una combinazione di figure, come quella mostrata nella figura, sempre con la stessa superficie totale.

 

Superficie minima

 

Non è affatto improbabile che esistano figure connesse con superficie minore.

 

Se si ammettono superfici formate da parti disgiunte, l’area minima potrebbe non esistere: si può tagliare il cilindro con un qualsiasi numero di piani perpendicolari all’asse e sostituire ogni sezione con il minimo cilindro che contenga la corrispondente zona sferica. Supponiamo di tagliare il cilindro con n – 1 piani ugualmente spaziati; potremmo allora utilizzare n cilindri, il k-esimo dei quali ha raggio Raggio del cilindro k-esimo e tutti di altezza Altezza dei cilindri, come mostra la figura nel caso n = 4.

 

Superficie minima

 

Il k-esimo cilindro ha superficie Superficie del k-esimo cilindro, quindi la superficie totale dei cilindri è Superficie totale dei cilindri. Al crescere di n il valore diminuisce, tendendo a Limite cui tende la superficie totale dei cilindri. Aggiungendo la semisfera abbiamo una superficie totale pari a Limite cui tende la superficie totale, che rappresenta il limite inferiore, al quale ci si può avvicinare a piacere.

Anche in questo caso non è detto che non esistano figure con superficie minore.

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