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Bernoulli (numeri di)

Analisi  Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Storia
  3. 3. Formula di Faulhaber
  4. 4. Formule
  5. 5. Proprietà
  6. 6. Valori

La tabella seguente riporta i primi numeri di Bernoulli diversi da zero, rappresentati come frazioni.

n

Bn

0

1

1

Numero di Bernoulli B(1)

2

Numero di Bernoulli B(2)

4

Numero di Bernoulli B(4)

6

Numero di Bernoulli B(6)

8

Numero di Bernoulli B(8)

10

Numero di Bernoulli B(10)

12

Numero di Bernoulli B(12)

14

Numero di Bernoulli B(14)

16

Numero di Bernoulli B(16)

18

Numero di Bernoulli B(18)

20

Numero di Bernoulli B(20)

22

Numero di Bernoulli B(22)

24

Numero di Bernoulli B(24)

26

Numero di Bernoulli B(26)

28

Numero di Bernoulli B(28)

30

Numero di Bernoulli B(30)

32

Numero di Bernoulli B(32)

34

Numero di Bernoulli B(34)

36

Numero di Bernoulli B(36)

38

Numero di Bernoulli B(38)

40

Numero di Bernoulli B(40)

42

Numero di Bernoulli B(42)

44

Numero di Bernoulli B(44)

46

Numero di Bernoulli B(46)

48

Numero di Bernoulli B(48)

50

 Numero di Bernoulli B(40)

 

La tabella seguente riporta i primi numeri di Bernoulli diversi da zero, rappresentati in notazione decimale.

n

Bn, rappresentato in notazione decimale come numero periodico

0

1

1

–0.5

2

0.16

4

–0.03

6

0.0238095

8

–0.03

10

0.075

12

–0.0531135

14

1.16

16

–7.09215686274509803

18

54.9711779448621553884

20

–529.124

22

6192.12318840579710144927536

24

–86580.2531135

26

1425517.16

28

–27298231.06781609195402298850574712643

30

601580873.9006423683843038681748359167714

32

–15116315767.092156862745098039215686274509803

34

429614643061.16

36

–13711655205088.3327721590879485616

38

488332318973593.16

40

–19296579341940068.14863266814

42

841693047573682615.0005537098560354374307862679955703211517165

44

–40338071854059455413.07681159420289855072463

46

2115074863808199160560.14539007092198581560283687943262411347517730496

48

–120866265222965259346027.3119370825253178194354664942900237017884076707606

50

7500866746076964366855720.075

 

Eulero calcolò i numeri di Bernoulli sino a B30; Ohm estese il calcolo sino a B62 nel 1840.

Nel 1877 Adams arrivò a B124: una notevole impresa, lavorando a mano, visto che il numeratore di B124 ha 110 cifre (per contrasto, il denominatore è semplicemente 30).

Nel 1996 Plouffe e Greg J. Fee utilizzarono un elaboratore per calcolare B2000000, numero di circa 800000 cifre, in circa 2 ore.

D. Harvey, nel 2008 calcolò B100000000, un numero di 676752569 cifre.

Il record attuale appartiene a Pavel Holoborodko, che nel 20011 calcolò B110000000.

 

Una curiosità non molto nota è che il primo programma della storia, cioè il primo algoritmo codificato per un elaboratore, sviluppato da Ada Lovelace nel 1842 per il “motore analitico” (un calcolatore meccanico) di Charles Babbage serviva a calcolare i numeri di Bernoulli.

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Mikami, Y.;  The Development of Mathematics in China and Japan, New York, Leipzig, 1913.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.

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