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Bernoulli (numeri di)

Analisi  Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Storia
  3. 3. Formula di Faulhaber
  4. 4. Formule
  5. 5. Proprietà
  6. 6. Valori

Tranne B(1) uguale a meno un mezzo, i numeri di Bernoulli con indice dispari sono nulli.

 

A partire da B6 i valori assoluti dei numeri di Bernoulli di indice pari sono crescenti.

 

I numeri di Bernoulli sono i valori dei polinomi di Bernoulli Bn(x), per x = 0 e dei polinomi di Stirling Sn(x), per x = 0.

 

Nel 1840 Karl von Staudt (1798 – 1867) e Clausen scoprirono indipendentemente e quasi contemporaneamente, una notevole proprietà: Espressione contenente un numero di Bernoulli è un intero, dove la somma va calcolata per tutti i primi p tali che p – 1 divida 2n (teorema di Von Staudt – Clausen); pertanto (n + 1)!Bn è intero. Per esempio, Esempio del teorema di Von Staudt – Clausen e 13!B12 = –1576143360

Ne segue che il denominatore di B2n è Formula per il denominatore dei numeri di Bernoulli, ossia il prodotto dei primi p tali che p – 1 divida 2n, che non è un multiplo di un quadrato ed è un multiplo di 6.

Un’altra conseguenza è che lo sviluppo di un numero di Bernoulli in qualsiasi base ha un periodo che divide n, preceduto da una singola cifra.

 

Non si conosce alcun numero di Bernoulli il cui numeratore sia multiplo di un quadrato.

 

La frazione dei numeri di Bernoulli con denominatore uguale a 6 è circa Un sesto (Erdös e Wagstaff, 1980).

 

L’unico denominatore di B2n che sia uguale a n è 1806 (Kellner 2005).

 

Il numeratore dei numeri di Bernoulli Bn è 1 solo per n = 0, 1, 2, 4, 6, 8, 10, 14; per gli altri valori di n è zero o un prodotto di primi irregolari. Più precisamente numeratore dei numeri di Bernoulli B2n è Formula per il numeratore dei numeri di Bernoulli, ossia il prodotto dei primi p inferiori a 2n e tali che p – 1 non divida 2n, ciascuno elevato a ordpn.

 

Gli unici numeri di Bernoulli noti con numeratore primo si hanno per B10, B12, B14, B16, B18, B36, B42 e nessun altro per indici sino a 100001 (E.W. Weisstein, 2007).

 

Ramanujan dimostrò numerose proprietà dei numeri di Bernoulli,:

  • una volta semplificate quanto possibile le frazioni, il denominatore è divisibile per 2 e 3, ma non per potenze superiori di 2 e 3;
  • Formula coinvolgente i numeri di Bernoulli è un intero, quindi il denominatore di Bn divide 2n – 1;
  • 2(2n – 1)Bn è zero o un intero dispari.

 

Il prodotto dei primi n numeri di Bernoulli di indice pari, ossia Prodotto dei primi n numeri di Bernoulli di indice pari, tende a Limite del prodotto dei primi n numeri di Bernoulli di indice pari, dove Formula per la definizione della costante C e G è la costante di Glaisher – Kinkelin.

 

per p primo maggiore di 7 (R.J. McIntosh, 1995)

Alcune congruenze notevoli:

  • Congruenza per i numeri di Bernoulli (J.S. Frame, 1961);

  • Congruenza per i numeri di Bernoulli, per p primo maggiore di 7 (R.J. McIntosh, 1995);

  • se p è primo e n è pari e multiplo di pk, ma non di p – 1, Bn è multiplo di pk;

  • se p è primo e n è pari e multiplo di p – 1, pBn ≡ –1 mod p;

  • se p è un primo dispari che non divide il denominatore di B2n e 2n = pmr, con m > 0 e r non multiplo di p, pm divide il numeratore di B2n (J.W.L. Glaisher, 1900);

  • se 2n = ab con a e b primi tra loro, tali che b sia multiplo di tutti e soli i primi che dividono il denominatore di B2n, a divide il numeratore di B2n (C. von Staudt, 1845);

  • se p è un primo dispari e b è un numero pari non multiplo di p – 1, per ogni intero non negativo k Congruenza per i numeri di Bernoulli (Kummer 1851);

  • se p è un primo dispari, m e n sono interi positivi pari non multipli di p – 1, b è un intero positivo e mn mod (pb – 1(p – 1)), allora Congruenza per i numeri di Bernoulli (Kummer 1851);

  • se p è un primo maggiore di 5 e p – 1 non divide 2n, Congruenza per i numeri di Bernoulli (E. Stafford e H.S. Vandiver, 1930);

  • se p è un primo maggiore di 3 e p – 1 non divide 2n, Congruenza per i numeri di Bernoulli (H.S. Vandiver, 1937);

  • se p è un primo maggiore di 7 e p – 1 non divide 2n, Congruenza per i numeri di Bernoulli (H.S. Vandiver, 1937);

  • se p è un primo maggiore di 3, Congruenza per i numeri di Bernoulli (Paulo Ribenboim);

  • se p è un primo dispari, tale che 2n diviso p – 1 non dia resto 2, Congruenza per i numeri di Bernoulli (Emma Lehmer, 1938);

  • se p è un primo dispari, a è un intero non multiplo di p, m e n sono interi positivi, tali che 2m > n, Congruenza per i numeri di Bernoulli (Kummer);

  • se p è un primo dispari e m e n sono interi positivi, tali che 2m > n, Congruenza per i numeri di Bernoulli (Kummer) e in particolare Congruenza per i numeri di Bernoulli.

 

Gli esperti ritengono che nBn – 1 ≡ –1 mod n se e solo se n è primo (congettura di Agoh); non si conoscono controesempi, ma resta una congettura non dimostrata. E' invece stato dimostrato che questa congettura è equivalente alla congettura di Giuga.

 

Nel 2011 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per n > 4 esista un primo p tale che B2n ≡ 0 mod p e che la stessa congruenza non valga per alcun k < n.

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p > 3 esista un primo q < p tale che Bq – 1 mod p sia una radice primitiva di p.

 

Se f è una funzione differenziabile n volte, la formula di Eulero – MacLaurin può essere scritta come Formula di Eulero - MacLaurin, dove R(f, n) è un resto, che dipende dalla funzione e da n.

 

Una strabiliante frazione continua: Frazione continua coinvolgente numeri di Bernoulli, se Re(z) > 0.

I numeri di Bernoulli compaiono nei denominatori, elevati a z, se negativi, alla parte reale di z se positivi.

 

La funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bernoulli è Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bernoulli, ovvero Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Bernoulli.

pertanto (n + 1)!Bn è intero

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Mikami, Y.;  The Development of Mathematics in China and Japan, New York, Leipzig, 1913.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.

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