Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Bernoulli (numeri di)

Analisi  Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Storia
  3. 3. Formula di Faulhaber
  4. 4. Formule
  5. 5. Proprietà
  6. 6. Valori

Alcune formule per i numeri di Bernoulli:

Bn = (– 1)n + 1nζ(1 – n);

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli, dove Bn(x1, x2, … xn) è un polinomio di Bell completo (Donal F. Connon, 2010)

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli per n > 0;

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli, dove W(n, k) è un numero di Worpitzky e il segno di B1 è positivo;

Formula per i numeri di Bernoulli, dove il segno di B1 è positivo;

Formula per i numeri di Bernoulli, dove W(n, k) è un numero di Worpitzky e il segno di B1 è positivo;

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli, dove Numero di Stirling associato di seconda specie S2(n, k) è un numero di Stirling associato di seconda specie (Guo-Dong Liu e H.M. Srivastava, 2006);

Formula per i numeri di Bernoulli per n > 1, dove En è l’n-esimo numero di Eulero;

Formula per i numeri di Bernoulli (Leopold Kronecker 1883);

 Formula per i numeri di Bernoulli, e quindi Formula per i numeri di Bernoulli (Von Ettingshausen, 1827;

Formula per i numeri di Bernoulli(Ramanujan);

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli, per n > 1;

Formula per i numeri di Bernoulli;

Formula per i numeri di Bernoulli, dove En(x) è l’n-esimo polinomio di Eulero;

Formula per i numeri di Bernoulli, dove il percorso di integrazione racchiude l’origine, ha raggio minore di 2π ed è percorso in senso antiorario;

Formula per i numeri di Bernoulli (Giorgio Pietrocola, 2008);

Formula per i numeri di Bernoulli (Giorgio Pietrocola, 2008);

Formula per i numeri di Bernoulli.

 

Alcune diseguaglianze:

Diseguaglianza per i numeri di Bernoulli, per n > 0;

Diseguaglianza per i numeri di Bernoulli(de Moivre, 1730);

Diseguaglianza per i numeri di Bernoulli (Yi Wang e Bao-Xuan Zhu, 2013).

 

Alcune approssimazioni:

Approssimazione per i numeri di Bernoulli;

Approssimazione per i numeri di Bernoulli, con 1 < θn < 2.

 

Alcune somme che coinvolgono numeri di Bernoulli:

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli per n pari;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli, per n > 1, da cui Formula per i numeri di Bernoulli;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli (Carlitz, 1968);

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli, per n > 1;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli (Lehmer, 1935);

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli(Lehmer, 1935);

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli per n > 0 (Eulero);

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli per n > 2 (H. Miki, 1978);

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli per n > 3 (Yuri Matiyasevich, 1997);

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli, per n pari e maggiore di zero;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli;

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli, per n > m (Giorgio Pietrocola, 2008);

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli, per n > m (Giorgio Pietrocola, 2008);

Somma che coinvolge numeri di Bernoulli.

 

Alcuni sviluppi in serie che coinvolgono numeri di Bernoulli:

Sviluppo in serie della tangente, per Valore assoluto di x minore di Pi diviso 2;

Sviluppo in serie di x diviso tangente di x per |x| ≤ π;

Sviluppo in serie di una funzione;

Sviluppo in serie del logaritmo del seno, per x tra zero e Pi mezzi;

 Sviluppo in serie della tangente iperbolica, per Valore assoluto di x minore di Pi diviso 2;

Sviluppo in serie della funzione digamma, prendendo B(1) uguale a un mezzo.

 

Alcuni limiti:

Numeri di Bernoulli come limite;

Limite coinvolgente numeri di Bernoulli;

Pi come limite coinvolgente numeri di Bernoulli ed Eulero.

 

Nel 2013 Florian Luca e Pantelimon Stănică dimostrarono che sono vere le congetture proposte da Zhi-Wei Sun l’anno precedente:

  • Formula che coinvolge i numeri di Bernoulli è strettamente crescente;

  • Formula che coinvolge i numeri di Bernoulli è strettamente decrescente per n > 2.

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Mikami, Y.;  The Development of Mathematics in China and Japan, New York, Leipzig, 1913.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.