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Bernoulli (numeri di)

Analisi  Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Storia
  3. 3. Formula di Faulhaber
  4. 4. Formule
  5. 5. Proprietà
  6. 6. Valori

Per calcolare la somma delle k-esime potenze degli interi di 1 a n, si deve calcolare Formula di Faulhaber per le somme delle potenze k-esime degli interi da 0 a n, espandendo la potenza del binomio come al solito, poi nel risultato si considera ogni Bm come se fosse Bm, cioè l’m-esimo numero di Bernoulli.

Così, per esempio, la somma delle quarte potenze degli interi da 1 a n è Formula di Faulhaber per le somme delle quarte potenze degli interi da 0 a n; semplificando B5 e sostituendo i numeri di Bernoulli otteniamo: Formula di Faulhaber per le somme delle quarte potenze degli interi da 0 a n.

Una proprietà notevole di queste formule è che il primo coefficiente è sempre Primo coefficiente delle formule di Faulhaber e la somma dei coefficienti è sempre 1. 

La formula può essere scritta come: Formula di Faulhaber, dove Bk(n) indica il k-esimo polinomio di Bernoulli.

Per semplificare la formula, Bernoulli definì Valore di B(1); infatti, il termine (–1)r che vi compare serve solo a cambiare il segno di B1, perché gli altri numeri di Bernoulli di indice dispari sono nulli. In seguito però prevalse la convenzione di considerare negativo B1.

 

Per mostrare l’efficacia della formula, Bernoulli calcolò la somma delle decime potenze dei numeri da 1 a 1000 in meno di metà di un quarto d’ora (intra semiquadrantem horae).

 

Per le somme di potenze di interi a segni alternati v. polinomi di Eulero.

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Mikami, Y.;  The Development of Mathematics in China and Japan, New York, Leipzig, 1913.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.

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