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Bernoulli (numeri di)

Analisi  Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Storia
  3. 3. Formula di Faulhaber
  4. 4. Formule
  5. 5. Proprietà
  6. 6. Valori

I numeri di Bernoulli devono il nome al matematico svizzero Jacob Bernoulli I (Basilea, 27/12/1654 – Basilea, 16/8/1705).

 

Bisogna stare attenti a non confondersi con i Bernoulli, perché questa famiglia in poco più di un secolo e mezzo ci ha dato almeno otto matematici di primissimo piano, alcuni dei quali annoverati tra i maggiori di ogni tempo, ma non ha messo lo stesso impegno nella scelta dei nomi: tra i grandi ci sono due Jacob, due Nicolaus, tre Johann e un Daniel, oltre a un certo numero di omonimi non altrettanto famosi, per la disperazione degli studiosi.

 

Non solo gli storici hanno qualche problema: un cratere lunare situato a 35.0 N, 60.7 E, del rispettabile diametro di 45 chilometri, porta dal 1985 il nome Bernoulli, ma a chi esattamente è intitolato? Al nostro Jacob e a suo fratello Johann I (Basilea, 27/7/1667 – Basilea 1/1/1748), ultimo di dieci figli, che prudentemente cambiò il nome in Jean.

Gli altri Bernoulli non potranno avere crateri a loro intitolati sulla Luna, a scanso di confusioni, né altrove, visto che le ferree regole di nomenclatura dell’Unione Astronomica Internazionale prevedono che nomi di scienziati possano essere attribuiti solo a crateri e montagne lunari, con limitate eccezioni per alcuni campi della scienza legati all’astronomia.

Per avere un’idea del livello di precisione di tali regole, basterà dire che ai personaggi dell’inferno dantesco sono riservate le caratteristiche di Io, satellite di Giove; i personaggi femminili di Shakespeare sono relegati su Miranda, satellite di Urano, e luoghi e personaggi dall’Eneide danno nome alle caratteristiche rilevanti di Dione, satellite di Saturno.

Al ritmo col quale nuovi corpi celesti sono scoperti e cartografati, tuttavia, c’è da chiedersi se gli autori di capolavori (alquanto rari nell’Umanità) terranno un ritmo di produzione adeguato.

 

I numeri di Bernoulli appaiono nel capolavoro di Jacob, intitolato Ars Conjectandi, pubblicato a Basilea nel 1713, quando Jacob riposava già da 8 anni nella tomba, che come da suo desiderio, riporta l’iscrizione “Eadem Mutata Resurgo” (risorgo identica attraverso i cambiamenti). Sopra l’iscrizione avrebbe dovuto trovarsi una spirale logaritmica, che, come Bernoulli aveva dimostrato, può rigenerare se stessa attraverso numerose trasformazioni (per esempio, è l’evoluta di se stessa), ma il compito era troppo difficile per un incisore del XVIII secolo, che si riuscì solo a tracciare una spirale archimedea, dalle proprietà molto meno interessanti.

 

Bernoulli definì i numeri che portano il suo nome nello studiare le somme di potenze di interi, senza prevedere che avrebbero avuto applicazioni in campi molto diversi, dallo sviluppo in serie della tangente, all’ultimo teorema di Fermat.

 

Il problema della somma di interi consecutivi, dei loro quadrati e cubi era già stato considerato da vari matematici: Pitagora (Grecia, c. 572 – 497 A.C.), Archimede (Siracusa, 287 – 212 A.C.), Aryabhata (India, 476 – India, 550), Abu Bekr inb Muhammad ibn al-Husayn al-Karaji (Baghdad, 13/4/953, morto nel 1019) e Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham (Iraq, 965 – 1039), noto anche come Alhazen.

 

Ibn Yahyā al-Maghribī al-Samaw’al (Baghdad, circa 1130 – Maraghw, Iran circa 1180) pubblicò la formula per la somma di quadrati consecutivi, non è chiaro se riscoprendola indipendentemente o ricavandola da altri testi arabi o indiani.

 

Thomas Harriot (Inghilterra, 1560 – 1621) si spinse a considerare somme di quarte potenze, ma nessuno aveva preso in considerazione una formula generale prima di J. Faulhaber, che pubblicò (Academia Algebrae, Augsburg 1631, in tedesco), ma in codice, polinomi per calcolare somme di potenze come Somma di potenze k-esime degli interi da 0 a n, per k fino a 17. Faulhaber estese poi il suo lavoro a ulteriori generalizzazioni e somme delle somme già trovate, pubblicando polinomi che, come dice Donald Ervin Knuth: “Sono assolutamente corretti, secondo i calcoli eseguiti con un moderno calcolatore. ... Non si può fare a meno di pensare che nessuno li abbia controllati da quando Faulhaber stesso li scrisse, sino a oggi”.

Faulhaber tuttavia non arrivò alla definizione dei numeri di Bernoulli, ma solo alla formula, che oggi porta il suo nome e che viene scritta più semplicemente usando tali numeri.

 

Il termine “numeri di Bernoulli” venne usato per la prima volta da de Moivre ed Eulero.

 

Solo gli scarsi contatti avuti sino a un secolo fa con l’estremo oriente (e una certa prepotenza occidentale) hanno permesso che fossero matematici europei a dare il nome a scoperte che spetterebbero di diritto ad altri.

Il fatto di essere stato anticipato nulla toglie alla gloria di chi arriva indipendentemente a un traguardo, ma il nome del primo a raggiungerlo dovrebbe comunque essere ricordato. Invece il nome di Takakazu Seki (Fujioka, Kozuke, 3/1642 – Edo, ora nota come Tokyo, 24/10/1708) è praticamente sconosciuto in occidente. Eppure questo discendente di una nobile famiglia di samurai studiò i determinanti nel 1683, 10 anni prima di Leibniz, e li usò in modo più generale, introdusse nello stesso anno i quadrati magici in Giappone, scoprì i numeri di ... Bernoulli 30 anni prima di Jacob (i suoi lavori in questo campo furono pubblicati postumi in Katsuyo Sampo, nel 1712), risolse nel 1685 equazioni cubiche col metodo di ... Horner, un secolo prima che questi nascesse (a dire il vero, i cinesi utilizzavano questo metodo nel 100 a.C. e nel 1247 Ch’in Kiu-Shao l’aveva esteso a equazioni di grado superiore), scoprì il metodo di ... Newton – Raphson 5 anni prima che Raphson lo pubblicasse (la scoperta dello stesso metodo da parte di Newton risale al 1671, ma venne pubblicata solo nel 1736), utilizzò il metodo di ... Aitken (pubblicato nel 1926) per accelerare la convergenza delle serie, arrivando a calcolare 10 cifre di π con una variante metodo dei poligoni di Archimede, sviluppò una notazione letterale per coefficienti, incognite e loro potenze.

Non male per un genio autodidatta, considerato “solo” come fondatore della matematica moderna in Giappone: meriterebbe che almeno una delle sue scoperte sia chiamata col suo nome.

A difesa dei matematici occidentali va detto che il segreto, degno della scuola pitagorica, con il quale Seki circondava la sua scuola rendeva poco accessibili i suoi lavori nella sua stessa patria.

Bibliografia

  • Derbyshire, John;  Unknown Quantity, New York, Penguin Group, 2007.
  • Havil, Julian;  Gamma, Princeton, Princeton University Press, 2003 -

    Interessante fonte di informazioni sulla costante γ.

  • Kanigel, Robert;  The Man who Knew Infinity, Charles Scribner’s Sons, 1991 -

    Un’ottima biografia di Ramanujan.

  • Mikami, Y.;  The Development of Mathematics in China and Japan, New York, Leipzig, 1913.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

  • Wells, David;  The Penguin Book of Curious and Interesting Mathematics, Londra, Penguin Books, 1997.

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