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Sierpiński duali (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Sierpiński duali” gli interi positivi dispari k tali che 2n + k sia composto per qualsiasi valore intero positivo di n. Per esempio, 78557 è un numero di Sierpiński duale, perché 2n + 78557 è composto per qualsiasi valore intero positivo di n.

 

Come per i numeri di Sierpiński (II), si dimostra che un intero k è un numero di Sierpiński duale trovando un insieme finito di primi tali che ogni numero della forma 2n + k sia divisibile per uno di essi. Nel caso di 78557 l’insieme è { 3, 5, 7, 13, 19, 37, 73 }, lo stesso che serve a dimostrare che 78557 è un numero di Sierpiński.

 

Quando i numeri di Sierpiński duali vennero studiati, era opinione comune che coincidessero con i numeri di Sierpiński; alla luce di successivi studi alcuni esperti ritengono possibile che esistano potenze che sono numeri di Sierpiński duali, ma non sono numeri di Sierpiński e viceversa, mentre resta ferma la convinzione che per i numeri che non sono potenze l’appartenenza a una categoria implichi l’appartenenza all’altra.

 

Il minimo numero di Sierpiński duale è con ogni probabilità 78557, ma per una dimostrazione rigorosa bisogna ancora dimostrare che alcuni numeri enormi, che sono stati dimostrati probabilmente primi, siano effettivamente tali.

 

Il minimo numero di Sierpiński duale primo noto è 271129; per dimostrare che sia il minimo, devono essere esclusi ancora alcuni candidati.

 

E’ stato dimostrato che il minimo numero che sia di Sierpiński e di Sierpiński duale è 78557.

 

Sierpiński dimostrò che, fissato n, esistono infiniti interi dispari k tali che 2n + k sia composto, quindi esistono infiniti interi positivi che non sono numeri di Sierpiński duali.

 

Gli interi k noti per i quali 2n + k è composto per k < n sono: 773, 2131, 2491, 4471, 5101, 7013, 8543, 10711, 14717, 17659, 19081, 19249, 20273, 21661, 22193, 28433, 35461, 37967, 39079, 40291, 41693, 48527, 60443, 60451, 60947, 64133, 75353, 78557.

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