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Riesel duali (numeri di)

Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri di Riesel duali” gli interi positivi dispari k tali che |2nk| sia composto per qualsiasi valore intero positivo di n. Per esempio, 509203 è un numero di Riesel duale, perché |2nk| è composto per qualsiasi valore intero positivo di n.

 

Come per i numeri di Riesel, si dimostra che un intero k è un numero di Riesel duale trovando un insieme finito di primi tali che ogni numero della forma |2nk| sia divisibile per uno di essi.

 

Nel 1950 H.G. van der Corput e Paul Erdös dimostrarono che una frazione finita degli interi è un numero di Riesel duale. Sono anche infiniti i numeri che non sono numeri di Riesel duali, perché esistono infiniti interi non rappresentabili come somma o differenza di una potenza di due e un numero primo (v. numeri di de Polignac).

 

Quando vennero studiati questi numeri, era opinione comune che i numeri di Riesel duali siano i numeri di Riesel e in particolare che il minimo sia 509203.

Un passo in questa direzione venne compiuto da Michael Filaseta, Carrie Finch e Mark Kozekchen, che nel 2007 dimostrarono che se un insieme di primi permette di dimostrare che un intero k è un numero di Riesel, lo stesso insieme permette di dimostrare che k è un numero di Riesel duale e viceversa, se non esistono valori di n tali che k2n – 1 o |2nk| siano primi dell’insieme. Resta però aperta la possibilità che esistano numeri di Riesel k per i quali non esista un insieme finito di primi che dividano ogni numero della forma k2n – 1 o che esistano numeri di Riesel duali k per i quali non esista un insieme finito di primi che dividano ogni numero della forma |2nk|.

I tre matematici sopra citati trovarono un insieme infinito di quadrati che sono numeri di Riesel e per i quali non sembra esserci un insieme finito di primi adeguato (v. numeri di Riesel); il minimo esempio, 38968453038738811751593146208088870460669724698092, è un numero di Riesel duale, ma potrebbero esserci altri numeri dell’insieme che non lo sono. Alla luce di questi risultati alcuni esperti ritengono possibile che esistano potenze che sono numeri di Riesel duali, ma non sono numeri di Riesel e viceversa, mentre resta ferma la convinzione che per i numeri che non sono potenze l’appartenenza a una categoria implichi l’appartenenza all’altra.

 

Nel 2003 Y.-G. Chen avanzò la congettura che per ogni intero positivo r esistano infiniti interi k tali che kr – 2n abbia almeno due fattori primi distinti per ogni valore di n.

Lo stesso Chen dimostrò la congettura per r dispari e per r uguale al doppio di un numero dispari e non multiplo di 3; nel 2007 Michael Filaseta, Carrie Finch e Mark Kozekchen dimostrarono che la congettura è vera anche per r = 4 e r = 6, lasciando r = 8 come minimo caso non risolto. I tre matematici dimostrarono anche che esiste un insieme infinito di interi con densità asintotica maggiore di zero, tale che per ogni r appartenente all’insieme esistono infiniti biquadrati k tali che kr sia un numero di Riesel duale e tali che kr – 2n abbia almeno due fattori primi distinti per ogni valore di n. La stessa affermazione inoltre vale, con un diverso insieme sempre contenente 1, se si sostituiscono ai biquadrati le seste potenze.

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