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Liskovets – Gallot (numeri di)

Teoria dei numeri 

Nel 2001, esaminando liste di primi di Proth, ossia numeri primi della forma k2n + 1 con k dispari, Valery Liskovets notò che per alcuni valori di k vi sono più primi per valori pari di n, per altri vi sono più primi per valori dispari di n. Liskovets scrisse a Yves Gallot, suggerendo che potessero esistere valori di k multipli di 3, tali che vi siano solo numeri composti per valori di n pari e alcuni primi per valori di n dispari e viceversa; il matematico suppose anche che valga qualcosa di simile per i numeri della forma k2n – 1.

Gallot rispose trovando alcuni numeri che potrebbero avere le caratteristiche desiderate:

  • k2n + 1 è composto per n pari, per k uguale a 66741;

  • k2n + 1 è composto per n dispari, per k uguale a 95283;

  • k2n – 1 è composto per n pari, per k uguale a 39939;

  • k2n – 1 è composto per n dispari, per k uguale a 172677.

 

Jean-Claude Rosa dimostrò che l’affermazione vale nei primi tre casi rispettivamente per i numeri delle forma:

  • 66741 + 5592405m;

  • 95283 + 2270012745m;

  • 39939 + 2270012745m.

 

I numeri con questa proprietà si chiamano “numeri di Liskovets – Gallot”; sono infiniti in ciascuna delle quattro famiglie.

 

Per dimostrare che un intero non è un numero di Liskovets – Gallot bisogna dimostrare che genera numeri composti se n ha una parità e almeno un primo se n ha la parità opposta; la parte più difficile è la seconda, che richiede un enorme tempo di calcolo. Il problema più interessante al momento è dimostrare che i quattro numeri trovati da Gallot siano i minimi con le proprietà indicate, escludendo i candidati inferiori. Dopo una ricerca durata oltre un decennio, un caso è stato risolto, restano da esaminare:

  • per il caso k2n + 1 con n dispari, i numeri 9267 (esaminati tutti i valori di n fino a 6400543), 32247 (esaminati tutti i valori di n fino a 4000000) e 53133 (esaminati tutti i valori di n fino a 4000000);

  • per il caso k2n – 1 con n pari, i numeri 9519 (esaminati tutti i valori di n fino a 13500000) e 14361 (esaminati tutti i valori di n fino a 4000000);

  • per il caso k2n – 1 con n dispari, i numeri 39687 (esaminati tutti i valori di n fino a 4000000), 103947 (esaminati tutti i valori di n fino a 4000000), 154317 (esaminati tutti i valori di n fino a 4000000) e 163503 (esaminati tutti i valori di n fino a 4000000).

 

L’ultimo candidato eliminato per il caso k2n + 1 con n pari è stato 23451: 23451 • 23739388 + 1 (che ha oltre un milione di cifre decimali), è stato dimostrato primo da Jean Penné nel 2015.

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