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Regolari (numeri)

Rappresentazione dei numeri 

Si chiamano “regolari” rispetto a una base b i numeri naturali che dividono le potenze della base e quindi tali che i loro reciproci hanno una rappresentazione finita in base b.

In caso della base 10 sono regolari i numeri della forma 2n5m e le frazioni che hanno uno di questi numeri a denominatore hanno una rappresentazione finita in base 10.

 

I numeri regolari rispetto alla base 10 fino a 1000 sono: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 128, 160, 200, 250, 256, 320, 400, 500, 512, 625, 640, 800, 1000.

Qui trovate i numeri regolari rispetto alla base 10 fino a 1020 (N.J.A. Sloane, The Online Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org).

 

Comunemente si chiamano regolari, omettendo la specificazione della base, i numeri naturali regolari rispetto alla base 60, ossia i numeri della forma 2n3m5k, vale a dire quelli che hanno una rappresentazione finita nella base sessagesimale usata da Sumeri e Babilonesi .

 

I numeri regolari rispetto alla base 60 fino a 1000 sono: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, 50, 54, 60, 64, 72, 75, 80, 81, 90, 96, 100, 108, 120, 125, 128, 135, 144, 150, 160, 162, 180, 192, 200, 216, 225, 240, 243, 250, 256, 270, 288, 300, 320, 324, 360, 375, 384, 400, 405, 432, 450, 480, 486, 500, 512, 540, 576, 600, 625, 640, 648, 675, 720, 729, 750, 768, 800, 810, 864, 900, 960, 972, 1000.

Qui trovate i numeri regolari rispetto alla base 60 fino a 109.

 

Il numero di numeri regolari fino a n tende a Limite asintotico cui tendono i numeri regolari fino a n.

 

Le coppie di numeri regolari consecutivi sono: (1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5), (5, 6), (8, 9), (9, 10), (15, 16), (24, 25) e (80, 81).

Queste coppie sono ben note ai musicisti, perché le frequenze delle note nella scala diatonica tradizionale della musica antica sono proporzionali ai numeri regolari 24, 27, 30, 32, 36, 40, 45, 48, tutte le note sono armoniche di una frequenza fondamentale e le coppie suddette corrispondono a intervalli fondamentali, ciascuno con un nome (nell’ordine: ottava, quinta perfetta, quarta perfetta, terza maggiore, terza minore, tono maggiore, tono minore, semitono diatonico, semitono cromatico, comma sintonico). Dopo il monumentale lavoro di Bach, si preferì generalmente la scala temperata, nella quale i rapporti tra semitoni successivi sono tutti uguali, ma non sono numeri razionali.

 

I numeri regolari sono anche noti come “numeri di Hamming”; dal nome del matematico americano Richard Wesley Hamming (Chicago, 11/2/1915 – Monterey, USA, 7/1/1998), che propose il problema della costruzione di un algoritmo capace di generarli in ordine crescente.

Uno dei possibili algoritmi è oggi comunemente utilizzato per verificare la correttezza di un’implementazione del linguaggio Python.

 

Come altri insiemi di numeri multipli di pochi fattori primi piccoli, i numeri regolari sono spesso utilizzati negli algoritmi per calcolare una trasformata di Fourier.

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