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Ruth – Aaron (numeri di)

Teoria dei numeri  Vari 

Henry “Hank” Aaron battè il 8/4/1974 il record del mitico George Herman “Babe” Ruth con 715 home run contro 714. Carl Pomerance notò che il prodotto dei due numeri è il prodotto dei primi 7 numeri primi: 714 · 715 = 2 • 3 • 5 • 7 • 11 • 13 • 17 (v. primoriali) e propose al collega David E. Penney il problema di trovare una proprietà interessante dei due numeri. Penney trovò, come prevedibile, la proprietà notata da Pomerance e propose il problema a una classe di studenti; inaspettatamente Jeremy Jordan trovò un’altra proprietà: i due numeri hanno la stessa somma dei fattori primi: 714 = 2 • 3 • 7 • 17, 715 = 5 • 11 • 13 e 2 + 3 + 7 + 17 = 29 = 5 + 11 + 13. Da allora i numeri consecutivi con questa proprietà sono noti come “numeri di Ruth – Aaron”, come li chiamò Carl Pomerance, quindi condividono con i numeri di Rhonda e Smith la poco comune caratteristica di avere il nome di persone che non hanno contributo in alcun modo alla loro scoperta o al loro studio.

Ruth s’era ritirato nel 1935, mentre Aaron continuò a giocare come professionista, arggiungendo un totale di 755 home run, e il campo di Atlanta ha il significativo indirizzo “755 Hank Aaron Boulevard”.

 

La definizione originale è stata successivamente precisata in due modi: si possono infatti sommare solo i fattori primi distinti o tutti. La distinzione non è rilevante per i numeri non multipli di quadrati, che sono numeri di Ruth – Aaron in entrambi i casi.

Per esempio, 24 e 25 sono numeri di Ruth – Aaron solo se si contano i fattori primi distinti, perché 24 = 233, 25 = 52 e 2 + 3 = 5, mentre 8 e 9 sono numeri di Ruth – Aaron solo se si contano tutti i fattori primi, perché 8 = 23, 9 = 32 e 2 + 2 + 2 = 3 + 3.

Se si considerano solo i fattori primi distinti, i minimi numeri delle coppie inferiori a 105 sono: 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299, 2600, 2783, 5405, 6556, 6811, 8855, 9800, 12726, 13775, 18655, 21183, 24024, 24432, 24880, 25839, 26642, 35456, 40081, 43680, 48203, 48762, 52554, 61760, 63665, 64232, 75140, 79118, 95709.

Se invece si considerano tutti i fattori primi, i minimi numeri delle coppie inferiori a 105 sono: 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248, 4185, 4191, 5405, 5560, 5959, 6867, 8280, 8463, 10647, 12351, 14587, 16932, 17080, 18490, 20450, 24895, 26642, 26649, 28448, 28809, 33019, 37828, 37881, 41261, 42624, 43215, 44831, 44891, 47544, 49240, 52554, 53192, 57075, 63344, 63426, 68264, 68949, 70356, 72500, 81175, 89979, 95709, 98119, 98644, 99163.

 

Qui trovate l’elenco delle coppie di numeri di Ruth – Aaron, considerando i fattori primi distinti, minori di 109.

Qui trovate l’elenco delle coppie di numeri di Ruth – Aaron, considerando tutti i fattori primi, minori di 109.

 

Si conoscono anche alcune terne di numeri consecutivi con la stessa somma dei fattori primi; se si contano solo i fattori primi distinti quelle inferiori a 1013 iniziano con: 89460294, 151165960539, 3089285427491, 6999761340223, 7539504384825 (Giovanni Resta); se si contano tutti i fattori primi, le prime terne iniziano con 417162 e 6913943284 (Giovanni Resta).

Non conosco quaterne o sequenze più lunghe di numeri con la stessa somma dei fattori primi.

 

Pomerance, Penney e Carol Nelson dimostrarono che l’ipotesi H di Schinzel implica l’esistenza di infiniti numeri di Ruth – Aaron, considerando tutti i fattori primi. Infatti, se per qualche valore di n p = 8n + 5, q = 48n2 + 24n – 1, r = 48n2 + 30n – 1 e s = 2n + 1 sono primi, pq e 4rs sono consecutivi e hanno la stessa somma di fattori primi. L’ipotesi H di Schinzel implica che esistano infiniti valori di n con tale proprietà.

 

In seguito sono stati scoperti altri metodi simili per produrre numeri di Ruth – Aaron, sempre considerando tutti i fattori primi:

  • se p = 216n + 221, q = 3888x2 + 7752x + 3863, r = 3888x2 + 7914x + 4027 e s = 54n + 53 sono primi, pq e 4rs sono una coppia di numeri di Ruth – Aaron (Farideh Firoozbakht);

  • se p = 2n + 1, q = 224n2 + 158n + 19, r = 224n2 + 144n + 17 e s = 16n + 9 sono primi, 8pq e rs sono una coppia di numeri di Ruth – Aaron (Jens Kruse Andersen);

  • se p = 16n + 9, q = 224n2 + 144n + 15, r = 224n2 + 158n + 17 e s = 2n + 1 sono primi, pq e 8rs sono una coppia di numeri di Ruth – Aaron (Jens Kruse Andersen);

  • se a è la differenza tra la somma dei fattori primi di n + 1 e quella di n e sia an – 1 che a(n + 1) – 1 sono primi, (n + 1)(an – 1) e (n + 1)(an – 1) + 1 sono una coppia di numeri di Ruth – Aaron (Jens Kruse Andersen).

 

Non tutti i numeri di Ruth – Aaron si trovano con metodi del genere e in particolare la prima coppia trovata, 714 e 715, non è ottenibile con questi metodi.

 

La tabella seguente mostra i valori di n minori di 10000 che permettono di ricavare numeri di Ruth – Aaron con il metodo di Pomerance, Penney e Nelson.

n

p

q

r

s

Numeri di Ruth – Aaron

3

29

503

521

7

14587, 14588

6

53

1871

1907

13

99163, 99164

39

317

73943

74177

79

23439931, 23439932

2259

18077

245002103

245015657

4519

4428903015931, 4428903015932

2301

18413

254196071

254209877

4603

4680512255323, 4680512255324

4008

32069

771171263

771195311

8017

24730691233147, 24730691233148

5313

42509

1355070023

1355101901

10627

57602671607707, 57602671607708

5319

42557

1358132183

1358164097

10639

57798031311931, 57798031311932

5733

45869

1577767463

1577801861

11467

72370615760347, 72370615760348

7461

59693

2672172071

2672216837

14923

159509967434203, 159509967434204

 

La tabella seguente mostra i valori di n minori di 10000 che permettono di ricavare numeri di Ruth – Aaron con il metodo di Firoozbakht.

n

p

q

r

s

Numeri di Ruth – Aaron

131

28517

67741343

67762729

7127

1931779878331, 1931779878332

411

88997

659954783

660021529

22247

58733995822651, 58733995822652

1077

232853

4518156719

4518331357

58211

1052066346489307, 1052066346489308

1476

319037

8481749303

8481988579

79757

2705991852381211, 2705991852381212

2035

439781

16116861983

16117191817

109943

7087889679745723, 7087889679745724

2051

443237

16371167903

16371500329

110807

7256307347822011, 7256307347822012

2525

545621

24808007663

24808416877

136403

13535769949093723, 13535769949093724

2766

597677

29767585223

29768033479

149417

17791401033326971, 17791401033326972

3365

727061

44050788143

44051333437

181763

32027610078037723, 32027610078037724

5461

1179797

115992299183

115993184029

294947

136847366599205851, 136847366599205852

6440

1391261

161299283543

161300326987

347813

224409402521317723, 224409402521317724

7680

1659101

229383110423

229384354747

414773

380569747885909723, 380569747885909724

7727

1669253

232198888319

232200140257

417311

387598690923155707, 387598690923155708

8576

1852637

286020238103

286021627579

463157

529891675858427611, 529891675858427612

 

La tabella seguente mostra i valori di n minori di 10000 che permettono di ricavare numeri di Ruth – Aaron con il primo metodo di Andersen.

n

p

q

r

s

Numeri di Ruth – Aaron

2

5

1231

1201

41

196963, 196964

65

131

956689

955777

1049

4010440291, 4010440292

1400

2801

439261219

439241617

22409

39371861581411, 39371861581412

 

La tabella seguente mostra i valori di n minori di 10000 che permettono di ricavare numeri di Ruth – Aaron con il secondo metodo di Andersen.

n

p

q

r

s

Numeri di Ruth – Aaron

53

857

636863

637607

107

272895795, 272895796

308

4937

21293903

21298217

617

52563999555, 52563999556

473

7577

50183423

50190047

947

190119898035, 190119898036

1418

22697

450606383

450626237

2837

5113706537475, 5113706537476

4433

70937

4402571903

4402633967

8867

156152621541555, 156152621541556

 

 

Nel 2005 Douglas E. Iannucci e Alexia S. Mintos dimostrarono che, considerando solo i fattori primi distinti, le uniche coppie nelle quali i numeri hanno al massimo due fattori primi sono: (5, 6), (24, 25) e (49, 50).

I due matematici trovarono inoltre un metodo per trovare numeri di Ruth – Aaron, considerando solo i fattori primi distinti. Le soluzioni dell’equazione sono le coppie xm, ym, ottenibili tramite la ricorrenza x1 = 2n, y1 = 1, , ym + 1 = xm + 2nym (J. Shockley, 1967); se la coppia di valori x e y costituisce una soluzione per n fissato e se esiste un valore di k tale che siano primi , , r = (2n + 1k + 2n)(2xy – 1) – 2y2 + 1 e s = (2n + 1k + 2n)(2xy + 1) – 2y2 + 1, allora 22npq e rs sono una coppia di numeri di Ruth – Aaron. Anche in questo caso l’ipotesi di Schinzel garantirebbe l’esistenza di infinite coppie, se fosse vera.

 

Pomerance, Penney e Nelson avanzarono nel 1974 l’ipotesi che i numeri di Ruth – Aaron abbiano densità nulla, ipotesi dimostrata nel 1978 dallo stesso Pomerance e Paul Erdös.

Pomerance dimostrò nel 2002 che con entrambe le definizioni il numero di numeri di Ruth – Aaron minori di n cresce al massimo come e che quindi la somma dei loro reciproci è finita e vale circa 0.4207 nel caso in cui si contino tutti i fattori primi (sommando i reciproci dei soli numeri minori di ogni coppia).

 

La coppia formata da 20772199 e 20772200 è la minima con somma dei fattori uguale a 666 (v. numero della Bestia), considerando tutti i fattori primi.

 

Il terzo dei metodi escogitati da Andersen gli permise di scoprire nel 2006 la massima coppia di numeri di Ruth – Aaron nota, considerando tutti i fattori, che inizia con 1905497580199509189284170340160617729454507519284447380894032125401299216605231959404746406491456076087537452500615450864475294509574851694872558965147637458142847851169925504384597156839186342774703794218835079914787224201023704381910357892050633144667126701025695274917267244904046631547412451217764892682665820564602733117589573504948536227821345923192129480709161020261811449211910222044348747482379430725999743632221747352369895912918537806024983087876413015656051286630362514544336250655742275490390123627033642602816846082773618047618057241712864339666641628923304519793358493637984057056708431504856716666486852783064558823303214311031327843985329990250941661759058076234800283993403507076244375580959674432176165987722177157610949025014540262241440456225977481329826275439637821113978467713347592277272778761877369486620895052353323089466275186762154730760340318912354139790806897575696138703430821296308462103569017153398443267481786206210886767724818966146946844173334119114448743319742017799652250972014097975370944402009702825892737428030948767100797625686574016828306896510177585513807643247111028436387799038506440379364429459573363671897648038471055229959043865825572200500964733710963640202420287896153160330276281618227487298617540255476280074559350892254762502210817894443167720935846502569560506110667691599491208731919024952421363870761711803501239185538574069391983342719955717058882890896368138193494147004587331151843148675367549228967086029644320447859065120962952089596374447116233085434132873847609496753472985903393433789231694813099478361000748611580864826593011061847641838713556713471254725932258368864283683692200692371209106534770572307218871042916413593183485395365506379734347460063367332536222904080159915268050488463591666677883273886773515619453824283477025504454432123743394046125013460971239497800890371700898189508814245802605172076033911743962026904069806100895805280160105496873001315827715390516280823634234028772631187703911152987130309050986582352435463047787954537597743446653459394894961821259826264830962239473426783366979045957590674800827386475515258839150265832778437479906407032823425469516491021728001379715431899719366154512563502547285212591255838316026666455949752922243730064842786597562244544978884895727223273891803087198867866259079665555303285891331560572045662554268535966709593656589236064020830654852199844137321000857229185204802690120413827152016690707913406032458904557410391839906976201600478728787648878095918260077763451151802737157974388818693751187019698506269372899366791461115456256745354823759379125968739181772530377198570431567908347972211264615201563021468158000344014411840455964750289454658586942925561481991489057183205484114267948734129461009557038116373961305283946779805357275258052988081142338786052205011092957765100556971046168725405699196504876638805413437488325425290215402290526524610163462014214603181590049079455254375903521028239539201511806075458657292398588631028289834824303308800555229520881653153370337142941704610130531032478966096949380681751035597648875605646925429060966480912553804692548277672433233670259.

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