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Wolstenholme (numeri di)

Teoria dei numeri 

L’n-esimo numero di Wolstenholme di indice m Wm(n) è definito come il numeratore del numero armonico generalizzato Formula per la definizione dei numeri armonici generalizzati, dopo le possibili semplificazioni. Se m = 1, troviamo i numeratori dei numeri armonici.

 

Talvolta sono chiamati “numeri di Wolstenholme”, senza menzionare l’indice, i numeri corrispondenti a m = 2.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di Wolstenholme Wm(n) per m fino a 10 e n fino a 10.

n

W1(n)

W2(n)

W3(n)

W4(n)

1

1

1

1

1

2

3

5

9

17

3

11

49

251

1393

4

25

205

2035

22369

5

137

5269

256103

14001361

6

49

5369

28567

14011361

7

363

266681

9822481

33654237761

8

761

1077749

78708473

538589354801

9

7129

9778141

19148110939

43631884298881

10

7381

1968329

19164113947

43635917056897

 

n

W5(n)

W6(n)

W7(n)

1

1

1

1

2

33

65

129

3

8051

47449

282251

4

257875

3037465

36130315

5

806108207

47463376609

2822716691183

6

268736069

47464376609

940908897061

7

4516906311683

5584183099672241

774879868932307123

8

144545256245731

357389058474664049

99184670126682733619

9

105375212839937899

260537105518334091721

650750755630450535274259

10

105376229094957931

52107472322919827957

650750820166709327386387

 

n

W8(n)

W9(n)

W10(n)

1

1

1

1

2

257

513

1025

3

1686433

10097891

60526249

4

431733409

5170139875

61978938025

5

168646292872321

10097934603139727

605263128567754849

6

168646392872321

373997614931101

605263138567754849

7

972213062238348973121

15092153145114981831307

170971856382109814342232401

8

248886558707571775009601

7727182467755471289426059

175075181098169912564190119249

9

1632944749460578249437992161

4106541588424891370931874221019

10338014371627802833957102351534201

10

1632944765723715465050248417

4106541592523201949266162797531

413520574906423083987893722912609

 

Tra questi si conoscono alcuni primi, riportati nella tabella seguente, dove l’asterisco indica i primi probabili (The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org e Mauro Fiorentini, 2013).

m

Valori di n tali che Wm(n) sia primo

Limite della ricerca

1

2, 3, 5, 8, 9, 21, 26, 41, 56, 62, 69, 79, 89, 91, 122, 127, 143, 167, 201, 230, 247, 252, 290, 349, 376, 459, 489, 492, 516, 662, 687, 714, 771, 932, 944, 1061, 1281, 1352, 1489, 1730, 1969, 2012, 2116, 2457, 2663, 2955, 3083, 3130, 3204, 3359, 3494, 3572, 3995, 4155, 4231, 4250, 4496, 4616, 5069, 5988, 6656, 6883, 8067, 8156, 8661, 9097, 9375, 9977, 10702, 12315, 12519, 12728, 13152, 13571, 14009, 14247, 14479, 15299, 17366, 19645, 21881, 22307, 25248, 27754, 32224, 32725, 34620, 36282, 39538, 51708, 60620, 62849, 63942, 69294, 69927, 77449, 78128

81780

2

2, 7, 13, 19, 121, 188, 252, 368, 605, 745, 1085, 1127, 1406, 1743*, 1774*, 2042*, 2087*, 2936*, 3196*, 3207*, 3457*, 4045*, 7584*, 10307*, 12603*, 12632*, 14438*, 14526*, 14641*, 15662*, 15950*, 16261*, 18084*, 18937*, 19676*, 40984*, 45531*, 46009*, 48292*, 48590*

50000

3

3, 15, 19, 26, 31, 129, 139, 211, 242, 246, 251, 474, 552, 558, 694, 801, 1001, 1123, 1313, 1687, 4168, 4484, 5611, 6869

6869

4

2, 4, 25, 235, 311, 733

1000

5

23, 25, 85, 147, 167, 252, 284, 335, 535

1000

6

73, 84, 301

1000

7

15, 71, 121, 197, 208, 303, 395

1000

8

2, 13, 387, 904

1000

9

3, 77, 230

1000

10

5, 49, 118, 197

1000

11

13, 45, 89

1000

12

57, 925

1000

13

3

1000

14

171, 213, 666

1000

15

5, 191

1000

16

2, 381

1000

17

21, 365

1000

18

7

1000

19

55

1000

20

-

1000

 

 

Prendono il nome da Joseph Wolstenholme (Eccles, UK, 30/9/1829 – 18/11/1891), che nel 1862 dimostrò che per ogni primo p > 3 il numeratore di Formula per la definizione del numero armonico H(p – 1) (ossia W1(p – 1)) è divisibile per p2.

 

Non è noto se valga l’inverso, cioè se questa sia una condizione sufficiente per stabilire che n è primo (v. primi di Wolstenholme); è però stato dimostrato che il numeratore non è divisibile per p se p è pari o una potenza di 3.

SourceURL:file:///F:\Mauro\Numeri\W.doc Se l’inverso del teorema valesse, esisterebbe un polinomio in sole 7 variabili che per valori interi delle stesse ha come valori positivi tutti e soli i primi.

 

Una conseguenza di questo teorema è che Congruenza soddisfatta dal coefficiente binomiale C(2 * p – 1, p) e quindi Congruenza soddisfatta dal coefficiente binomiale centrale C(2 * p, p), se p è primo e maggiore di 3.

 

Nel 1819 Charles Babbage (26/12/1791 – Marylebone, UK, 18/10/1871) aveva dimostrato che Congruenza soddisfatta dal coefficiente binomiale C(2 * p – 1, p), se p è primo e maggiore di 2. Babbage suppose la congruenza valesse solo se p è primo, ma in seguito vennero trovati i controesempi 283686649 = 168432 e 4514260853041 = 21246792 (v. primi di Wolstenholme).

 

Per quanto riguarda numeri di indice maggiore di 1 è stato dimostrato che:

  • W2(p – 1) è divisibile per p se e solo se p è primo (Wolstenholme, 1862);

  • W3(p – 1) è divisibile per p2 se e solo se p è primo e maggiore di 5;

  • W4(p – 1) è divisibile per p3 se e solo se p è primo e maggiore di 7.

 

In seguito furono dimostrate altre congruenze riguardanti somme di reciproci di interi:

  • Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi, se n non è multiplo di 2 o di 3, dove la somma va calcolata sui numeri primi rispetto a n (C. Leudesdorf, 1889);

  • per ogni primo dispari pSomma di reciproci di interi modulo p è congruente a Un mezzo, se 2n è un multiplo di p, a 0 altrimenti (Glaisher, 1900);

  • per ogni primo p maggiore di 3 Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi (L. Carlitz, 1954);

  • per ogni primo p maggiore di 3 il numeratore di Somma di reciproci di interi è multiplo di p (E. Alkan, 1994);

  • Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi, se s è pari e n non è divisibile per alcun primo p tale che p – 1 divida s, dove la somma va calcolata sui numeri primi rispetto a n (Sh. Slavutskii, 2002);

  • Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi, se s è dispari e vale una delle due condizioni: per ogni fattore primo p di n, s + 1 non è divisibile per p – 1, oppure per ogni fattore primo p di n, tale che p – 1 divida s + 1, s è divisibile per p, dove la somma va calcolata sui numeri primi rispetto a n (Sh. Slavutskii, 2002);

  • se n è il prodotto di primi distinti, tutti maggiori di 3, Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi (S. Hong, 2007);

  • per ogni primo p maggiore di 3 e tale che pr divida 2n + 1, Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi (Y. Su, J. Yang e S. Li, 2011).

  • per ogni intero n non multiplo di 2 o 3, Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi per s pari e Congruenza soddisfatta da una somma di reciproci di interi per s dispari, dove t = s(φ(n2) – 1), le somme vanno calcolate sui numeri primi rispetto a n e i prodotti sui divisori primi di n.

 

I.Sh. Slavutskii dimostrò nel 2002 che per ogni primo p maggiore di 2, Somma di reciproci di interi è congruente a:

  • Valore congruente alla somma modulo p3t – 1, se r è pari e p > r + 2;

  • Valore congruente alla somma modulo p3t, se r è dispari e p > r + 3;

  • –(2n + 1)p2t – 1 modulo p2t, se p = r + 2.

 

Bibliografia

  • Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
  • Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

    Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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